Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\sqrt[4]{π}} x^{3} \cos (x^{4}) d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{1} = x^{2}$ . Kemudian $d u_{1} = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{1} = x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Langkah 1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = {\sqrt[4]{π}}^{2}$

Langkah 1.5

Tulis kembali ${\sqrt[4]{π}}^{2}$ sebagai $\sqrt{π}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[4]{π}$ sebagai $π^{\frac{1}{4}}$ .

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{4}})}^{2}$

Langkah 1.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{4} \cdot 2}$

Langkah 1.5.3

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{4}}$

Langkah 1.5.4

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2 (1)}{4}}$

Langkah 1.5.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Langkah 1.5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = π^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Langkah 1.5.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2}}$

Langkah 1.5.5

Tulis kembali $π^{\frac{1}{2}}$ sebagai $\sqrt{π}$ .

$u_{upper} = \sqrt{π}$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{π}$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ , $d u_{1}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ sebagai ${u_{1}}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{1}}$ sebagai ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.1.4.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{2}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $u_{1}$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} \frac{u_{1}}{2} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Langkah 2.3

Gabungkan $\frac{u_{1}}{2}$ dan $\cos ({u_{1}}^{2})$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} \frac{u_{1} \cos ({u_{1}}^{2})}{2} d u_{1}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Langkah 4

Biarkan $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Langkah 4.2

Substitusikan batas bawah untuk $u_{1}$ di $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Langkah 4.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 4.4

Substitusikan batas atas untuk $u_{1}$ di $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

Langkah 4.5

Tulis kembali ${\sqrt{π}}^{2}$ sebagai $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{π}$ sebagai $π^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Langkah 4.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Langkah 4.5.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Langkah 4.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Langkah 4.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = π^{1}$

Langkah 4.5.5

Sederhanakan.

$u_{upper} = π$

Langkah 4.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Langkah 4.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 5

Gabungkan $\cos (u_{2})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 7.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 8

Integral dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} \sin (u_{2})]_{0}^{π}$

Langkah 9

Evaluasi $\sin (u_{2})$ pada $π$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{1}{4} (\sin (π) - 0)$

Langkah 10.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{1}{4} (\sin (π) + 0)$

Langkah 10.3

Tambahkan $\sin (π)$ dan $0$ .

$\frac{1}{4} \sin (π)$

Langkah 10.4

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $\sin (π)$ .

$\frac{\sin (π)}{4}$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\frac{\sin (0)}{4}$

Langkah 11.1.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0}{4}$

Langkah 11.2

Bagilah $0$ dengan $4$ .

$0$