Kalkulus Contoh

\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2} - 2 x + 1} d x

$\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2} - 2 x + 1} d x$

Langkah 1

Biarkan

u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}

$u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ . Kemudian

d u = d x

$d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan

u

$u$ dan

d

$d$

u

$u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan

u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}

$u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ . Tentukan

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan

\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}

$\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$

Langkah 1.1.2

Tulis kembali

\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$ sebagai

\frac{d}{d x} [x - 1]

$\frac{d}{d x} [x - 1]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Tulis kembali

1

$1$ sebagai

1^{2}

$1^{2}$ .

\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1^{2}}]

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1^{2}}]$

Langkah 1.1.2.1.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

2 x = 2 \cdot x \cdot 1

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Langkah 1.1.2.1.3

Tulis kembali polinomialnya.

\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}]

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}]$

Langkah 1.1.2.1.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna

a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana

a = x

$a = x$ dan

b = 1

$b = 1$ .

\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x - 1)}^{2}}]

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x - 1)}^{2}}]$

\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x - 1)}^{2}}]

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x - 1)}^{2}}]$

Langkah 1.1.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

\frac{d}{d x} [x - 1]

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

\frac{d}{d x} [x - 1]

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 1.1.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

x - 1

$x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 1

$n = 1$ .

1 + \frac{d}{d x} [- 1]

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.5

Karena

- 1

$- 1$ konstan terhadap

x

$x$ , turunan dari

- 1

$- 1$ terhadap

x

$x$ adalah

0

$0$ .

1 + 0

$1 + 0$

Langkah 1.1.6

Tambahkan

1

$1$ dan

0

$0$ .

1

$1$

1

$1$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk

x

$x$ di

u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}

$u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

u_{lower} = \sqrt{0^{2} - 2 \cdot 0 + 1}

$u_{lower} = \sqrt{0^{2} - 2 \cdot 0 + 1}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menaikkan

0

$0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan

0

$0$ .

u_{lower} = \sqrt{0 - 2 \cdot 0 + 1}

$u_{lower} = \sqrt{0 - 2 \cdot 0 + 1}$

Langkah 1.3.2

Kalikan

- 2

$- 2$ dengan

0

$0$ .

u_{lower} = \sqrt{0 + 0 + 1}

$u_{lower} = \sqrt{0 + 0 + 1}$

Langkah 1.3.3

Tambahkan

0

$0$ dan

0

$0$ .

u_{lower} = \sqrt{0 + 1}

$u_{lower} = \sqrt{0 + 1}$

Langkah 1.3.4

Tambahkan

0

$0$ dan

1

$1$ .

u_{lower} = \sqrt{1}

$u_{lower} = \sqrt{1}$

Langkah 1.3.5

Sebarang akar dari

1

$1$ adalah

1

$1$ .

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk

x

$x$ di

u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}

$u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

u_{upper} = \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}

$u_{upper} = \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

u_{upper} = \sqrt{1 - 2 \cdot 1 + 1}

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 \cdot 1 + 1}$

Langkah 1.5.2

Kalikan

- 2

$- 2$ dengan

$1$ .

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 + 1}$

Langkah 1.5.3

Kurangi

$2$ dengan

$1$ .

$u_{upper} = \sqrt{- 1 + 1}$

Langkah 1.5.4

Tambahkan

$- 1$ dan

$1$ .

$u_{upper} = \sqrt{0}$

Langkah 1.5.5

Tulis kembali

$0$ sebagai

$0^{2}$ .

$u_{upper} = \sqrt{0^{2}}$

Langkah 1.5.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk

$u_{lower}$ dan

$u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan

$u$ ,

$d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{0} u d u$

Langkah 2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari

$u$ terhadap

$u$ adalah

$\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{0}$

Langkah 3

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi

$\frac{1}{2} u^{2}$ pada

$0$ dan pada

$1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menaikkan

$0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan

$0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Langkah 3.2.2

Kalikan

$\frac{1}{2}$ dengan

$0$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Langkah 3.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 3.2.4

Kalikan

$- 1$ dengan

$1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.5

Kurangi

$\frac{1}{2}$ dengan

$0$ .

$- \frac{1}{2}$

Langkah 4

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{1}{2}$

Bentuk Desimal:

$- 0.5$

Langkah 5