Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2} - 2 x + 1} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$

Langkah 1.1.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$ sebagai $\frac{d}{d x} [x - 1]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1^{2}}]$

Langkah 1.1.2.1.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Langkah 1.1.2.1.3

Tulis kembali polinomialnya.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}]$

Langkah 1.1.2.1.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x - 1)}^{2}}]$

Langkah 1.1.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 1.1.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 1.1.6

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

$u_{lower} = \sqrt{0^{2} - 2 \cdot 0 + 1}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = \sqrt{0 - 2 \cdot 0 + 1}$

Langkah 1.3.2

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = \sqrt{0 + 0 + 1}$

Langkah 1.3.3

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$u_{lower} = \sqrt{0 + 1}$

Langkah 1.3.4

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{1}$

Langkah 1.3.5

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

$u_{upper} = \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 \cdot 1 + 1}$

Langkah 1.5.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 + 1}$

Langkah 1.5.3

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{- 1 + 1}$

Langkah 1.5.4

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{0}$

Langkah 1.5.5

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$u_{upper} = \sqrt{0^{2}}$

Langkah 1.5.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{0} u d u$

Langkah 2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{0}$

Langkah 3

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi $\frac{1}{2} u^{2}$ pada $0$ dan pada $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Langkah 3.2.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Langkah 3.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 3.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.5

Kurangi $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{2}$

Langkah 4

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{1}{2}$

Bentuk Desimal:

$- 0.5$

Langkah 5