Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} x e^{- x} d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} d x$

Langkah 2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- x} d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- x} d x$

Langkah 3.2

Kalikan $\int_{0}^{1} e^{- x} d x$ dengan $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x$

Langkah 4

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 4.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 4.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 4.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Langkah 4.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 4.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Langkah 4.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Langkah 4.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Langkah 4.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u$

Langkah 5

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 1} e^{u} d u$

Langkah 6

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1})$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $x (- e^{- x})$ pada $1$ dan pada $0$ .

$(1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- 1})$

Langkah 7.2

Evaluasi $e^{u}$ pada $- 1$ dan pada $0$ .

$(1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$1 (- e^{- 1}) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Langkah 7.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- e^{- 1} + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Langkah 7.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$- e^{- 1} + 0 (- e^{0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Langkah 7.3.4

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- e^{- 1} + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Langkah 7.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- e^{- 1} + 0 \cdot - 1 - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Langkah 7.3.6

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$- e^{- 1} + 0 - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Langkah 7.3.7

Tambahkan $- e^{- 1}$ dan $0$ .

$- e^{- 1} - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Langkah 7.3.8

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

Langkah 7.3.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1)$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} - (e^{- 1} - 1)$

Langkah 8.1.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} - (\frac{1}{e} - 1)$

Langkah 8.1.3

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} - - 1$

Langkah 8.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1$

Langkah 8.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$1 + \frac{- 1 - 1}{e}$

Langkah 8.3

Kurangi $1$ dengan $- 1$ .

$1 + \frac{- 2}{e}$

Langkah 8.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$1 - \frac{2}{e}$

Langkah 9

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$1 - \frac{2}{e}$

Bentuk Desimal:

$0.26424111 \dots$

Langkah 10