Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} \ln (x^{2} + 1) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (x^{2} + 1)$ dan $d v = 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x (2 x)}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x)$

Langkah 4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 5

Bagilah $x^{2}$ dengan $x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Langkah 5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Langkah 5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{2} + 0 + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Langkah 5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Langkah 5.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Langkah 7

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Langkah 9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Susun kembali $x^{2}$ dan $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Langkah 9.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Langkah 10

Integral dari $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\arctan (x)]_{0}^{1}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

Langkah 11

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Evaluasi $\ln (x^{2} + 1) x$ pada $1$ dan pada $0$ .

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (x]_{0}^{1} - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

Langkah 11.2

Evaluasi $x$ pada $1$ dan pada $0$ .

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 ((1) + 0 - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

Langkah 11.3

Evaluasi $\arctan (x)$ pada $1$ dan pada $0$ .

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Langkah 11.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\ln (1 + 1) \cdot 1 - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Langkah 11.4.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\ln (2) \cdot 1 - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Langkah 11.4.3

Kalikan $\ln (2)$ dengan $1$ .

$\ln (2) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Langkah 11.4.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\ln (2) - \ln (0 + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Langkah 11.4.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\ln (2) - \ln (1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Langkah 11.4.6

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$\ln (2) + 0 \ln (1) - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Langkah 11.4.7

Kalikan $0$ dengan $\ln (1)$ .

$\ln (2) + 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Langkah 11.4.8

Tambahkan $\ln (2)$ dan $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Langkah 11.4.9

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Langkah 12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.1

Nilai eksak dari $\arctan (1)$ adalah $\frac{π}{4}$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} - \arctan (0)))$

Langkah 12.1.1.2

Nilai eksak dari $\arctan (0)$ adalah $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} - 0))$

Langkah 12.1.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} + 0))$

Langkah 12.1.2

Tambahkan $\frac{π}{4}$ dan $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - \frac{π}{4})$

Langkah 12.2

Terapkan sifat distributif.

$\ln (2) - 2 \cdot 1 - 2 (- \frac{π}{4})$

Langkah 12.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\ln (2) - 2 - 2 (- \frac{π}{4})$

Langkah 12.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{π}{4}$ ke dalam pembilangnya.

$\ln (2) - 2 - 2 \frac{- π}{4}$

Langkah 12.4.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\ln (2) - 2 + 2 (- 1) \frac{- π}{4}$

Langkah 12.4.3

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\ln (2) - 2 + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

Langkah 12.4.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (2) - 2 + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

Langkah 12.4.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (2) - 2 - \frac{- π}{2}$

Langkah 12.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (2) - 2 - - \frac{π}{2}$

Langkah 12.5.2

Kalikan $- - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\ln (2) - 2 + 1 \frac{π}{2}$

Langkah 12.5.2.2

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $1$ .

$\ln (2) - 2 + \frac{π}{2}$

Langkah 13

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\ln (2) - 2 + \frac{π}{2}$

Bentuk Desimal:

$0.26394350 \dots$