Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} 4 x^{3} e^{x^{4}} d x$

Langkah 1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$4 \int_{0}^{1} x^{3} e^{x^{4}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u_{1} = x^{2}$ . Kemudian $d u_{1} = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{1} = x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Langkah 2.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

Langkah 2.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = 1$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ , $d u_{1}$ , dan batas integral yang baru.

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ sebagai ${u_{1}}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{1}}$ sebagai ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.1.4.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $u_{1}$ .

$4 \int_{0}^{1} \frac{u_{1}}{2} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 3.3

Gabungkan $\frac{u_{1}}{2}$ dan $e^{{u_{1}}^{2}}$ .

$4 \int_{0}^{1} \frac{u_{1} e^{{u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$4 (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1})$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$\frac{4}{2} \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 5.2

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{1} \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 5.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 6

Biarkan $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Langkah 6.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Langkah 6.2

Substitusikan batas bawah untuk $u_{1}$ di $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Langkah 6.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 6.4

Substitusikan batas atas untuk $u_{1}$ di $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

Langkah 6.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = 1$

Langkah 6.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Langkah 6.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$2 \int_{0}^{1} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 7

Gabungkan $e^{u_{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{0}^{1} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$2 (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 9.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 9.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 9.3

Kalikan $\int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$ dengan $1$ .

$\int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 10

Integral dari $e^{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{2}}]_{0}^{1}$

Langkah 11

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Evaluasi $e^{u_{2}}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$(e^{1}) - e^{0}$

Langkah 11.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan.

$e - e^{0}$

Langkah 11.2.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$e - 1 \cdot 1$

Langkah 11.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$e - 1$

Langkah 12

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$e - 1$

Bentuk Desimal:

$1.71828182 \dots$

Langkah 13