Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{7} \sqrt{4 + 3 x} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 4 + 3 x$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 4 + 3 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $4 + 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 + 3 x]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 + 3 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 1.1.2.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$0 + 3$

Langkah 1.1.4

Tambahkan $0$ dan $3$ .

$3$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 4 + 3 x$ .

$u_{lower} = 4 + 3 \cdot 0$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$u_{lower} = 4$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 4 + 3 x$ .

$u_{upper} = 4 + 3 \cdot 7$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan $3$ dengan $7$ .

$u_{upper} = 4 + 21$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $4$ dan $21$ .

$u_{upper} = 25$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 25$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{4}^{25} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Langkah 2

Gabungkan $\sqrt{u}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\int_{4}^{25} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} \int_{4}^{25} \sqrt{u} d u$

Langkah 4

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int_{4}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{25}$

Langkah 6

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $25$ dan pada $4$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.4

Naikkan $5$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.5

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $125$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.6

Kalikan $2$ dengan $125$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.7

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.8

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Langkah 6.2.9

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.9.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Langkah 6.2.9.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3})$

Langkah 6.2.10

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8)$

Langkah 6.2.11

Kalikan $8$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - 8 (\frac{2}{3}))$

Langkah 6.2.12

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3})$

Langkah 6.2.13

Kalikan $- 8$ dengan $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} + \frac{- 16}{3})$

Langkah 6.2.14

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{16}{3})$

Langkah 6.2.15

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{250 - 16}{3}$

Langkah 6.2.16

Kurangi $16$ dengan $250$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{234}{3}$

Langkah 6.2.17

Hapus faktor persekutuan dari $234$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.17.1

Faktorkan $3$ dari $234$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 78}{3}$

Langkah 6.2.17.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.17.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 78}{3 (1)}$

Langkah 6.2.17.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 78}{3 \cdot 1}$

Langkah 6.2.17.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{78}{1}$

Langkah 6.2.17.2.4

Bagilah $78$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 78$

Langkah 6.2.18

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $78$ .

$\frac{78}{3}$

Langkah 6.2.19

Hapus faktor persekutuan dari $78$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.19.1

Faktorkan $3$ dari $78$ .

$\frac{3 \cdot 26}{3}$

Langkah 6.2.19.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.19.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{3 \cdot 26}{3 (1)}$

Langkah 6.2.19.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot 26}{3 \cdot 1}$

Langkah 6.2.19.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{26}{1}$

Langkah 6.2.19.2.4

Bagilah $26$ dengan $1$ .

$26$

Langkah 7