Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{3} x \sin (π x^{2}) d x$

Langkah 1

Biarkan $u = π x^{2}$ . Kemudian $d u = 2 \cdot x π d x$ sehingga $\frac{1}{2 π} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = π x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $π x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [π x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Karena $π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $π x^{2}$ terhadap $x$ adalah $π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$π \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$π (2 x)$

Langkah 1.1.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$2 π x$

Langkah 1.1.5

Susun kembali $2 π$ dan $x$ .

$x (2 π)$

Langkah 1.1.6

Susun kembali $x$ dan $2$ .

$2 \cdot x π$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = π x^{2}$ .

$u_{lower} = π \cdot 1^{2}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{lower} = π \cdot 1$

Langkah 1.3.2

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$u_{lower} = π$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = π x^{2}$ .

$u_{upper} = π \cdot 3^{2}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{upper} = π \cdot 9$

Langkah 1.5.2

Pindahkan $9$ ke sebelah kiri $π$ .

$u_{upper} = 9 π$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = 9 π$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{π}^{9 π} \sin (u) \frac{1}{2 π} d u$

Langkah 2

Gabungkan $\sin (u)$ dan $\frac{1}{2 π}$ .

$\int_{π}^{9 π} \frac{\sin (u)}{2 π} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2 π}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2 π}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2 π} \int_{π}^{9 π} \sin (u) d u$

Langkah 4

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2 π} - \cos (u)]_{π}^{9 π}$

Langkah 5

Evaluasi $- \cos (u)$ pada $9 π$ dan pada $π$ .

$\frac{1}{2 π} (- \cos (9 π) + \cos (π))$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$\frac{1}{2 π} (- \cos (π) + \cos (π))$

Langkah 6.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$\frac{1}{2 π} (- - \cos (0) + \cos (π))$

Langkah 6.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- (- 1 \cdot 1) + \cos (π))$

Langkah 6.1.4

Kalikan $- (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- - 1 + \cos (π))$

Langkah 6.1.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 + \cos (π))$

Langkah 6.1.5

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$\frac{1}{2 π} (1 - \cos (0))$

Langkah 6.1.6

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 - 1 \cdot 1)$

Langkah 6.1.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 - 1)$

Langkah 6.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2 π} \cdot 0$

Langkah 6.3

Kalikan $\frac{1}{2 π}$ dengan $0$ .

$0$