Kalkulus Contoh

$\int_{2}^{4} 6 x \ln (x) d x$

Langkah 1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$6 \int_{2}^{4} x \ln (x) d x$

Langkah 2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (x)$ dan $d v = x$ .

$6 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2})]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$6 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Langkah 3.2

Gabungkan $\ln (x)$ dan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Langkah 3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Langkah 3.4

Kalikan $\frac{x^{2}}{2}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Langkah 3.5

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Langkah 3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Faktorkan $x$ dari $2 x$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Langkah 3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Langkah 3.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x}{2} d x)$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{2}^{4} x d x))$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4})$

Langkah 6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4})$

Langkah 6.1.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}}{2})$

Langkah 6.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Evaluasi $\frac{\ln (x) x^{2}}{2}$ pada $4$ dan pada $2$ .

$6 ((\frac{\ln (4) \cdot 4^{2}}{2}) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}}{2})$

Langkah 6.2.2

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $4$ dan pada $2$ .

$6 ((\frac{\ln (4) \cdot 4^{2}}{2}) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$6 (\frac{\ln (4) \cdot 16}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Langkah 6.2.3.2

Pindahkan $16$ ke sebelah kiri $\ln (4)$ .

$6 (\frac{16 \cdot \ln (4)}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Langkah 6.2.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $16 \ln (4)$ .

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Langkah 6.2.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2 (1)} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Langkah 6.2.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2 \cdot 1} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Langkah 6.2.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$6 (\frac{8 \ln (4)}{1} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Langkah 6.2.3.3.2.4

Bagilah $8 \ln (4)$ dengan $1$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Langkah 6.2.3.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{\ln (2) \cdot 4}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Langkah 6.2.3.5

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $\ln (2)$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{4 \cdot \ln (2)}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Langkah 6.2.3.6

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.6.1

Faktorkan $2$ dari $4 \ln (2)$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Langkah 6.2.3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2 (1)} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Langkah 6.2.3.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2 \cdot 1} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Langkah 6.2.3.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 \ln (2)}{1} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Langkah 6.2.3.6.2.4

Bagilah $2 \ln (2)$ dengan $1$ .

$6 (8 \ln (4) - (2 \ln (2)) - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Langkah 6.2.3.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Langkah 6.2.3.8

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Langkah 6.2.3.9

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.9.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Langkah 6.2.3.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.9.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Langkah 6.2.3.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Langkah 6.2.3.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Langkah 6.2.3.9.2.4

Bagilah $8$ dengan $1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Langkah 6.2.3.10

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{4}{2}}{2})$

Langkah 6.2.3.11

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.11.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2}}{2})$

Langkah 6.2.3.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.11.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}{2})$

Langkah 6.2.3.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}{2})$

Langkah 6.2.3.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2}{1}}{2})$

Langkah 6.2.3.11.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - 1 \cdot 2}{2})$

Langkah 6.2.3.12

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - 2}{2})$

Langkah 6.2.3.13

Kurangi $2$ dengan $8$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{6}{2})$

Langkah 6.2.3.14

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.14.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2})$

Langkah 6.2.3.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.14.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2 (1)})$

Langkah 6.2.3.14.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1})$

Langkah 6.2.3.14.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{3}{1})$

Langkah 6.2.3.14.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - 1 \cdot 3)$

Langkah 6.2.3.15

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - 3)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan sifat distributif.

$6 (8 \ln (4)) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tulis kembali $\ln (4)$ sebagai $\ln (2^{2})$ .

$6 (8 \ln (2^{2})) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

Langkah 7.2.2

Perluas $\ln (2^{2})$ dengan memindahkan $2$ ke luar logaritma.

$6 (8 (2 \ln (2))) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

Langkah 7.2.3

Kalikan $- 2$ dengan $6$ .

$6 (8 (2 \ln (2))) - 12 \ln (2) + 6 \cdot - 3$

Langkah 7.2.4

Kalikan $6$ dengan $- 3$ .

$6 (8 (2 \ln (2))) - 12 \ln (2) - 18$

Langkah 7.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$6 (16 \ln (2)) - 12 \ln (2) - 18$

Langkah 7.3.2

Kalikan $16$ dengan $6$ .

$96 \ln (2) - 12 \ln (2) - 18$

Langkah 7.4

Kurangi $12 \ln (2)$ dengan $96 \ln (2)$ .

$84 \ln (2) - 18$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$84 \ln (2) - 18$

Bentuk Desimal:

$40.22436316 \dots$