Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{e} \ln^{2} (x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln^{2} (x)$ dan $d v = 1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

Langkah 2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

Langkah 2.2.2

Bagilah $\ln (x^{2})$ dengan $1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \ln (x^{2}) d x$

Langkah 3

Tulis kembali $\ln (x^{2})$ sebagai $2 \ln (x)$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 2 \ln (x) d x$

Langkah 4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - (2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x)$

Langkah 5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x$

Langkah 6

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (x)$ dan $d v = 1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Langkah 7.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Langkah 7.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x)$

Langkah 8

Terapkan aturan konstanta.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

Langkah 9

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Evaluasi $\ln^{2} (x) x$ pada $e$ dan pada $1$ .

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

Langkah 9.2

Evaluasi $\ln (x) x$ pada $e$ dan pada $1$ .

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e}))$

Langkah 9.3

Evaluasi $x$ pada $e$ dan pada $1$ .

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

Langkah 9.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\ln^{2} (e) e - \ln^{2} (1) - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

Langkah 9.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\ln^{2} (e) e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$1^{2} e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Langkah 10.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Langkah 10.1.3

Kalikan $e$ dengan $1$ .

$e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Langkah 10.1.4

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$e - 0^{2} - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Langkah 10.1.5

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$e - 0 - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Langkah 10.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$e + 0 - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Langkah 10.1.7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.7.1

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$e + 0 - 2 (1 e - \ln (1) - (e - 1))$

Langkah 10.1.7.2

Kalikan $e$ dengan $1$ .

$e + 0 - 2 (e - \ln (1) - (e - 1))$

Langkah 10.1.7.3

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$e + 0 - 2 (e - 0 - (e - 1))$

Langkah 10.1.7.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$e + 0 - 2 (e + 0 - (e - 1))$

Langkah 10.1.7.5

Terapkan sifat distributif.

$e + 0 - 2 (e + 0 - e - - 1)$

Langkah 10.1.7.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e + 0 - 2 (e + 0 - e + 1)$

Langkah 10.1.8

Tambahkan $e$ dan $0$ .

$e + 0 - 2 (e - e + 1)$

Langkah 10.1.9

Kurangi $e$ dengan $e$ .

$e + 0 - 2 (0 + 1)$

Langkah 10.1.10

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$e + 0 - 2 \cdot 1$

Langkah 10.1.11

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$e + 0 - 2$

Langkah 10.2

Tambahkan $e$ dan $0$ .

$e - 2$

Langkah 11

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$e - 2$

Bentuk Desimal:

$0.71828182 \dots$