Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Langkah 1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 1.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{- 2} d x$

Langkah 2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (x)$ dan $d v = x^{- 2}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{x})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\ln (x)$ dan $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.2

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x \cdot x} d x$

Langkah 3.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x} d x$

Langkah 3.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Langkah 3.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Langkah 3.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - - \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + 1 \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 5.1.2

Kalikan $\int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$ dengan $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 5.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 5.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 5.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{- 2} d x$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + - x^{- 1}]_{1}^{e}$

Langkah 7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e}$ dan $- x^{- 1}]_{1}^{e}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}]_{1}^{e}$

Langkah 7.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Evaluasi $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}$ pada $e$ dan pada $1$ .

$(- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1}) - (- \frac{\ln (1)}{1} - 1^{- 1})$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Bagilah $\ln (1)$ dengan $1$ .

$- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1^{- 1})$

Langkah 7.2.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1 \cdot 1)$

Langkah 7.2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1)$

Langkah 7.2.2.4

Untuk menuliskan $- (- \ln (1) - 1)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{e}{e}$ .

$- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} - (- \ln (1) - 1) \cdot \frac{e}{e}$

Langkah 7.2.2.5

Gabungkan $- (- \ln (1) - 1)$ dan $\frac{e}{e}$ .

$- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} + \frac{- (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Langkah 7.2.2.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- e^{- 1} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Langkah 7.2.2.7

Untuk menuliskan $- e^{- 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{e}{e}$ .

$- e^{- 1} \cdot \frac{e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Langkah 7.2.2.8

Gabungkan $- e^{- 1}$ dan $\frac{e}{e}$ .

$\frac{- e^{- 1} e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Langkah 7.2.2.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- e^{- 1} e - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Langkah 7.2.2.10

Naikkan $e$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- (e^{1} e^{- 1}) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Langkah 7.2.2.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- e^{1 - 1} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Langkah 7.2.2.12

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{- e^{0} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Langkah 7.2.2.13

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Langkah 7.2.2.14

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Langkah 7.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- \ln (e)$ .

$\frac{- 1 (1) - (\ln (e)) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Langkah 7.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (\ln (e))$ .

$\frac{- 1 (1 + \ln (e)) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Langkah 7.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (- \ln (1) - 1) e$ .

$\frac{- 1 (1 + \ln (e)) - ((- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Langkah 7.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1 + \ln (e)) - ((- \ln (1) - 1) e)$ .

$\frac{- 1 (1 + \ln (e) + (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Langkah 7.3.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1 + \ln (e) + (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Langkah 7.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$- \frac{1 + \ln (e) + (- 0 - 1) e}{e}$

Langkah 7.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$- \frac{1 + \ln (e) + (0 - 1) e}{e}$

Langkah 7.4.3

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$- \frac{1 + \ln (e) - 1 e}{e}$

Langkah 7.4.4

Tulis kembali $- 1 e$ sebagai $- e$ .

$- \frac{1 + \ln (e) - e}{e}$

Langkah 7.4.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.5.1

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$- \frac{1 + 1 - e}{e}$

Langkah 7.4.5.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- \frac{2 - e}{e}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{2 - e}{e}$

Bentuk Desimal:

$0.26424111 \dots$