Kalkulus Contoh

$\int_{12}^{13} x \sqrt{x^{2} - 144} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x^{2} - 144$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x^{2} - 144$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{2} - 144$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 144]$

Langkah 1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 144$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 144]$

Langkah 1.1.4

Karena $- 144$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 144$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x^{2} - 144$ .

$u_{lower} = 12^{2} - 144$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Naikkan $12$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{lower} = 144 - 144$

Langkah 1.3.2

Kurangi $144$ dengan $144$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x^{2} - 144$ .

$u_{upper} = 13^{2} - 144$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Naikkan $13$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{upper} = 169 - 144$

Langkah 1.5.2

Kurangi $144$ dengan $169$ .

$u_{upper} = 25$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 25$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{25} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Gabungkan $\sqrt{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{25} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Langkah 4

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{25}$

Langkah 6

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $25$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.4

Naikkan $5$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.5

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $125$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.6

Kalikan $2$ dengan $125$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.7

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Langkah 6.2.8

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Langkah 6.2.9

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.9.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Langkah 6.2.9.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Langkah 6.2.10

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Langkah 6.2.11

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

Langkah 6.2.12

Kalikan $0$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} + 0)$

Langkah 6.2.13

Tambahkan $\frac{250}{3}$ dan $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{250}{3}$

Langkah 6.2.14

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{250}{3}$ .

$\frac{250}{2 \cdot 3}$

Langkah 6.2.15

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{250}{6}$

Langkah 6.2.16

Hapus faktor persekutuan dari $250$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.16.1

Faktorkan $2$ dari $250$ .

$\frac{2 (125)}{6}$

Langkah 6.2.16.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.16.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{2 \cdot 125}{2 \cdot 3}$

Langkah 6.2.16.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 125}{2 \cdot 3}$

Langkah 6.2.16.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{125}{3}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{125}{3}$

Bentuk Desimal:

$41.\overline{6}$

Bentuk Bilangan Campuran:

$41 \frac{2}{3}$

Langkah 8