Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

Langkah 1

Mempertimbangkan definisi batas turunannya.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Langkah 2

Tentukan komponen dari definisinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi fungsi pada $x = x + h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $x + h$ pada pernyataan tersebut.

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) + 1}$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

Langkah 2.1.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{x + h}{x + h + 1}$ .

$\frac{x + h}{x + h + 1}$

Langkah 2.2

Tentukan komponen dari definisinya.

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

Langkah 3

Masukkan komponen.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} - (\frac{x}{x + 1})}{h}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Untuk menuliskan $\frac{x + h}{x + h + 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x}{x + 1}}{h}$

Langkah 4.1.2

Untuk menuliskan $- \frac{x}{x + 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Langkah 4.1.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(x + h + 1) (x + 1)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Kalikan $\frac{x + h}{x + h + 1}$ dengan $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Langkah 4.1.3.2

Kalikan $\frac{x}{x + 1}$ dengan $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.3.3

Susun kembali faktor-faktor dari $(x + h + 1) (x + 1)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5

Tulis kembali $\frac{(x + h) (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Perluas $(x + h) (x + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x (x + 1) + h (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.1.2

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + h (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.1.3

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.2.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.2.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.2.3

Kalikan $h$ dengan $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.3

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x \cdot x - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.4.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.4.1.1

Pindahkan $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - (x \cdot x) - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.4.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x^{2} - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x^{2} - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.5

Kurangi $x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h x + h + 0 - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.6

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h x + h - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.7

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - x h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.8

Tambahkan $h x + h - x h$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - x h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.9

Kurangi $x h$ dengan $h x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.9.1

Susun kembali $h$ dan $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h + x h - x h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.9.2

Kurangi $x h$ dengan $x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.10

Tambahkan $h$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Langkah 4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Langkah 4.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Langkah 5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan suku $\frac{1}{x + 1}$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$\frac{1}{x + 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 1}$

Langkah 5.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Langkah 5.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Langkah 5.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Langkah 5.5

Evaluasi limit dari $x$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Langkah 5.6

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 1}$

Langkah 6

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 0 + 1}$

Langkah 7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Langkah 7.2

Kalikan $\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $\frac{1}{x + 1}$ dengan $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x + 1)}$

Langkah 7.2.2

Naikkan $x + 1$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

Langkah 7.2.3

Naikkan $x + 1$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

Langkah 7.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

Langkah 7.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 8