Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{4 - x}$

Langkah 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{4 - x}$ sebagai ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 4 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $4 - x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x)$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Langkah 1.1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 - x$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Langkah 1.1.1.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Langkah 1.1.1.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Langkah 1.1.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Langkah 1.1.1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Langkah 1.1.1.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Langkah 1.1.1.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Langkah 1.1.1.7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Langkah 1.1.1.7.3

Pindahkan ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Langkah 1.1.1.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 - x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))$

Langkah 1.1.1.9

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

Langkah 1.1.1.10

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x)$

Langkah 1.1.1.11

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x)$

Langkah 1.1.1.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Langkah 1.1.1.13

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.13.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Langkah 1.1.1.13.2

Gabungkan $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $- 1$ .

$f' (x) = \frac{- 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.1.13.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Karena $- \frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.2.1.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ sebagai ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Langkah 1.1.2.1.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}$

Langkah 1.1.2.1.2.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}}$

Langkah 1.1.2.1.2.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 4 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $4 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x))$

Langkah 1.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Langkah 1.1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Langkah 1.1.2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Langkah 1.1.2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Langkah 1.1.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Langkah 1.1.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Langkah 1.1.2.6.2

Kurangi $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Langkah 1.1.2.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Langkah 1.1.2.7.2

Gabungkan ${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{{(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

Langkah 1.1.2.7.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.7.3.1

Pindahkan ${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

Langkah 1.1.2.7.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

Langkah 1.1.2.7.3.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

Langkah 1.1.2.7.4

Kalikan $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Langkah 1.1.2.7.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Langkah 1.1.2.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 - x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))$

Langkah 1.1.2.9

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

Langkah 1.1.2.10

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x)$

Langkah 1.1.2.11

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x)$

Langkah 1.1.2.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Langkah 1.1.2.13

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.13.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot - 1$

Langkah 1.1.2.13.2

Gabungkan $\frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ dan $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 1.1.2.13.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 1.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 1.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Langkah 1.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$1 = 0$

Langkah 1.2.3

Karena $1 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2

Tentukan domain dari $f (x) = \sqrt{4 - x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{4 - x}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$4 - x \geq 0$

Langkah 2.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kurangkan $4$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$- x \geq - 4$

Langkah 2.2.2

Bagi setiap suku pada $- x \geq - 4$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Bagi setiap suku dalam $- x \geq - 4$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 2.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 2.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 2.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.3.1

Bagilah $- 4$ dengan $- 1$ .

$x \leq 4$

Langkah 2.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, 4]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \leq 4}$

Notasi Interval:

$(- \infty, 4]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \leq 4}$

Langkah 3

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, 4]$

Langkah 4

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, 4]$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = - \frac{1}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kurangi $0$ dengan $4$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.2.1.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.2.1.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Langkah 4.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Langkah 4.2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 2^{3}}$

Langkah 4.2.1.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 8}$

Langkah 4.2.2

Kalikan $4$ dengan $8$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{32}$

Langkah 4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{1}{32}$ .

$- \frac{1}{32}$

Langkah 4.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(- \infty, 4]$ karena $f'' (0)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(- \infty, 4]$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 5