Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 x {(x - 2)}^{3}$

Langkah 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x {(x - 2)}^{3}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(x - 2)}^{3})$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{3}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 1.1.1.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 2$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 1.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 1.1.1.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 2$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 1.1.1.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 1.1.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 2))) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 1.1.1.4.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 1.1.1.4.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 1.1.1.4.4.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 1.1.1.4.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \cdot 1)$

Langkah 1.1.1.4.6

Kalikan ${(x - 2)}^{3}$ dengan $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3})$

Langkah 1.1.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2})) + 3 {(x - 2)}^{3}$

Langkah 1.1.1.5.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$f' (x) = 9 (x ({(x - 2)}^{2})) + 3 {(x - 2)}^{3}$

Langkah 1.1.1.5.3

Faktorkan $3 {(x - 2)}^{2}$ dari $9 x {(x - 2)}^{2} + 3 {(x - 2)}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.3.1

Faktorkan $3 {(x - 2)}^{2}$ dari $9 x {(x - 2)}^{2}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{3}$

Langkah 1.1.1.5.3.2

Faktorkan $3 {(x - 2)}^{2}$ dari $3 {(x - 2)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Langkah 1.1.1.5.3.3

Faktorkan $3 {(x - 2)}^{2}$ dari $3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x + x - 2)$

Langkah 1.1.1.5.4

Tambahkan $3 x$ dan $x$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (4 x - 2)$

Langkah 1.1.1.5.5

Tulis kembali ${(x - 2)}^{2}$ sebagai $(x - 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = 3 ((x - 2) (x - 2)) (4 x - 2)$

Langkah 1.1.1.5.6

Perluas $(x - 2) (x - 2)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.6.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = 3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Langkah 1.1.1.5.6.2

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Langkah 1.1.1.5.6.3

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Langkah 1.1.1.5.7

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.7.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Langkah 1.1.1.5.7.1.2

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Langkah 1.1.1.5.7.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (4 x - 2)$

Langkah 1.1.1.5.7.2

Kurangi $2 x$ dengan $- 2 x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 4 x + 4) (4 x - 2)$

Langkah 1.1.1.5.8

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = (3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4) (4 x - 2)$

Langkah 1.1.1.5.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.9.1

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 4) (4 x - 2)$

Langkah 1.1.1.5.9.2

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 12 x + 12) (4 x - 2)$

Langkah 1.1.1.5.10

Perluas $(3 x^{2} - 12 x + 12) (4 x - 2)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$f' (x) = 3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Langkah 1.1.1.5.11

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.11.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Langkah 1.1.1.5.11.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.11.2.1

Pindahkan $x$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Langkah 1.1.1.5.11.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.11.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Langkah 1.1.1.5.11.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Langkah 1.1.1.5.11.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Langkah 1.1.1.5.11.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Langkah 1.1.1.5.11.4

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Langkah 1.1.1.5.11.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 x \cdot x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Langkah 1.1.1.5.11.6

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.11.6.1

Pindahkan $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 (x \cdot x)) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Langkah 1.1.1.5.11.6.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 x^{2}) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Langkah 1.1.1.5.11.7

Kalikan $- 12$ dengan $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Langkah 1.1.1.5.11.8

Kalikan $- 2$ dengan $- 12$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Langkah 1.1.1.5.11.9

Kalikan $4$ dengan $12$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 48 x + 12 \cdot - 2$

Langkah 1.1.1.5.11.10

Kalikan $12$ dengan $- 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 48 x - 24$

Langkah 1.1.1.5.12

Kurangi $48 x^{2}$ dengan $- 6 x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 54 x^{2} + 24 x + 48 x - 24$

Langkah 1.1.1.5.13

Tambahkan $24 x$ dan $48 x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 54 x^{2} + 72 x - 24$

Langkah 1.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $12 x^{3} - 54 x^{2} + 72 x - 24$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Langkah 1.1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Langkah 1.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Langkah 1.1.2.2.3

Kalikan $3$ dengan $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Langkah 1.1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 54 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Karena $- 54$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 54 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 54 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 54 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Langkah 1.1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 54 (2 x) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Langkah 1.1.2.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 54$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Langkah 1.1.2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [72 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Karena $72$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $72 x$ terhadap $x$ adalah $72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Langkah 1.1.2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Langkah 1.1.2.4.3

Kalikan $72$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Langkah 1.1.2.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.5.1

Karena $- 24$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 24$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 + 0$

Langkah 1.1.2.5.2

Tambahkan $36 x^{2} - 108 x + 72$ dan $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72$

Langkah 1.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $36 x^{2} - 108 x + 72$ .

$36 x^{2} - 108 x + 72$

Langkah 1.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $36 x^{2} - 108 x + 72 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$36 x^{2} - 108 x + 72 = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Faktorkan $36$ dari $36 x^{2} - 108 x + 72$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Faktorkan $36$ dari $36 x^{2}$ .

$36 (x^{2}) - 108 x + 72 = 0$

Langkah 1.2.2.1.2

Faktorkan $36$ dari $- 108 x$ .

$36 (x^{2}) + 36 (- 3 x) + 72 = 0$

Langkah 1.2.2.1.3

Faktorkan $36$ dari $72$ .

$36 x^{2} + 36 (- 3 x) + 36 \cdot 2 = 0$

Langkah 1.2.2.1.4

Faktorkan $36$ dari $36 x^{2} + 36 (- 3 x)$ .

$36 (x^{2} - 3 x) + 36 \cdot 2 = 0$

Langkah 1.2.2.1.5

Faktorkan $36$ dari $36 (x^{2} - 3 x) + 36 \cdot 2$ .

$36 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Faktorkan $x^{2} - 3 x + 2$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $2$ dan jumlahnya $- 3$ .

$- 2, - 1$

Langkah 1.2.2.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$36 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Langkah 1.2.2.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$36 (x - 2) (x - 1) = 0$

Langkah 1.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Langkah 1.2.4

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 1.2.4.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 1.2.5

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 1.2.5.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 1.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $36 (x - 2) (x - 1) = 0$ benar.

$x = 2, 1$

Langkah 2

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 3

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 4

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, 1)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 108 \cdot 0 + 72$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 108 \cdot 0 + 72$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $36$ dengan $0$ .

$f'' (0) = 0 - 108 \cdot 0 + 72$

Langkah 4.2.1.3

Kalikan $- 108$ dengan $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 72$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f'' (0) = 0 + 72$

Langkah 4.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $72$ .

$f'' (0) = 72$

Langkah 4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $72$ .

$72$

Langkah 4.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(- \infty, 1)$ karena $f'' (0)$ positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, 1)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(1, 2)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.5$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (1.5) = 36 {(1.5)}^{2} - 108 \cdot 1.5 + 72$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $1.5$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (1.5) = 36 \cdot 2.25 - 108 \cdot 1.5 + 72$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $36$ dengan $2.25$ .

$f'' (1.5) = 81 - 108 \cdot 1.5 + 72$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $- 108$ dengan $1.5$ .

$f'' (1.5) = 81 - 162 + 72$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Kurangi $162$ dengan $81$ .

$f'' (1.5) = - 81 + 72$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $- 81$ dan $72$ .

$f'' (1.5) = - 9$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 9$ .

$- 9$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(1, 2)$ karena $f'' (1.5)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(1, 2)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 6

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(2, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (4) = 36 {(4)}^{2} - 108 \cdot 4 + 72$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (4) = 36 \cdot 16 - 108 \cdot 4 + 72$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $36$ dengan $16$ .

$f'' (4) = 576 - 108 \cdot 4 + 72$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $- 108$ dengan $4$ .

$f'' (4) = 576 - 432 + 72$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Kurangi $432$ dengan $576$ .

$f'' (4) = 144 + 72$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $144$ dan $72$ .

$f'' (4) = 216$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $216$ .

$216$

Langkah 6.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(2, \infty)$ karena $f'' (4)$ positif.

Cekung ke atas pada $(2, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 7

Grafiknya cekung ke bawah ketika turunan keduanya negatif dan cekung ke atas ketika turunan keduanya positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, 1)$ karena $f'' (x)$ positif

Cekung ke bawah pada $(1, 2)$ karena $f'' (x)$ negatif

Cekung ke atas pada $(2, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 8