Kalkulus Contoh

$y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$

Langkah 1

Tulis $y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ sebagai fungsi.

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Langkah 2.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 8$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 12 x$ terhadap $x$ adalah $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (9)$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $- 12$ dengan $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + \frac{d}{d x} (9)$

Langkah 2.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + 0$

Langkah 2.1.4.2

Tambahkan $3 x^{2} - 16 x - 12$ dan $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} - 16 x - 12$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Langkah 2.2.2.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Langkah 2.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Karena $- 16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 16 x$ terhadap $x$ adalah $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 12)$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Langkah 2.2.3.3

Kalikan $- 16$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 12$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 + 0$

Langkah 2.2.4.2

Tambahkan $6 x - 16$ dan $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 16$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $6 x - 16$ .

$6 x - 16$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $6 x - 16 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$6 x - 16 = 0$

Langkah 3.2

Tambahkan $16$ ke kedua sisi persamaan.

$6 x = 16$

Langkah 3.3

Bagi setiap suku pada $6 x = 16$ dengan $6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagilah setiap suku di $6 x = 16$ dengan $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{16}{6}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 x}{6} = \frac{16}{6}$

Langkah 3.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{16}{6}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$x = \frac{2 (8)}{6}$

Langkah 3.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$x = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.3.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{8}{3}$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $\frac{8}{3}$ dalam $f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{8}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{8}{3}) = {(\frac{8}{3})}^{3} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{3}}{3^{3}} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Langkah 4.1.2.1.2

Naikkan $8$ menjadi pangkat $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{3^{3}} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Langkah 4.1.2.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Langkah 4.1.2.1.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 \frac{8^{2}}{3^{2}} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Langkah 4.1.2.1.5

Naikkan $8$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 \frac{64}{3^{2}} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Langkah 4.1.2.1.6

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 (\frac{64}{9}) - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Langkah 4.1.2.1.7

Kalikan $- 8 (\frac{64}{9})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.7.1

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{64}{9}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 8 \cdot 64}{9} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Langkah 4.1.2.1.7.2

Kalikan $- 8$ dengan $64$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 512}{9} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Langkah 4.1.2.1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Langkah 4.1.2.1.9

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.9.1

Faktorkan $3$ dari $- 12$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} + 3 (- 4) (\frac{8}{3}) + 9$

Langkah 4.1.2.1.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} + 3 \cdot (- 4 (\frac{8}{3})) + 9$

Langkah 4.1.2.1.9.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} - 4 \cdot 8 + 9$

Langkah 4.1.2.1.10

Kalikan $- 4$ dengan $8$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} - 32 + 9$

Langkah 4.1.2.2

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kalikan $\frac{512}{9}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - (\frac{512}{9} \cdot \frac{3}{3}) - 32 + 9$

Langkah 4.1.2.2.2

Kalikan $\frac{512}{9}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} - 32 + 9$

Langkah 4.1.2.2.3

Tulis $- 32$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32}{1} + 9$

Langkah 4.1.2.2.4

Kalikan $\frac{- 32}{1}$ dengan $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32}{1} \cdot \frac{27}{27} + 9$

Langkah 4.1.2.2.5

Kalikan $\frac{- 32}{1}$ dengan $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + 9$

Langkah 4.1.2.2.6

Tulis $9$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9}{1}$

Langkah 4.1.2.2.7

Kalikan $\frac{9}{1}$ dengan $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Langkah 4.1.2.2.8

Kalikan $\frac{9}{1}$ dengan $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

Langkah 4.1.2.2.9

Susun kembali faktor-faktor dari $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

Langkah 4.1.2.2.10

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{27} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

Langkah 4.1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 512 \cdot 3 - 32 \cdot 27 + 9 \cdot 27}{27}$

Langkah 4.1.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.4.1

Kalikan $- 512$ dengan $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 1536 - 32 \cdot 27 + 9 \cdot 27}{27}$

Langkah 4.1.2.4.2

Kalikan $- 32$ dengan $27$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 1536 - 864 + 9 \cdot 27}{27}$

Langkah 4.1.2.4.3

Kalikan $9$ dengan $27$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 1536 - 864 + 243}{27}$

Langkah 4.1.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.5.1

Kurangi $1536$ dengan $512$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 1024 - 864 + 243}{27}$

Langkah 4.1.2.5.2

Kurangi $864$ dengan $- 1024$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 1888 + 243}{27}$

Langkah 4.1.2.5.3

Tambahkan $- 1888$ dan $243$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 1645}{27}$

Langkah 4.1.2.5.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{8}{3}) = - \frac{1645}{27}$

Langkah 4.1.2.6

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{1645}{27}$ .

$- \frac{1645}{27}$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\frac{8}{3}$ dalam $f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ adalah $(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, \frac{8}{3}) \cup (\frac{8}{3}, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{8}{3})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $2.5\overline{6}$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (2.5\overline{6}) = 6 (2.5\overline{6}) - 16$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $6$ dengan $2.5\overline{6}$ .

$f'' (2.5\overline{6}) = 15.3\overline{9} - 16$

Langkah 6.2.2

Kurangi $16$ dengan $15.3\overline{9}$ .

$f'' (2.5\overline{6}) = - 0.6$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 0.6$ .

$- 0.6$

Langkah 6.3

Pada $2.5\overline{6}$ , turunan kedua adalah $- 0.6$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, \frac{8}{3})$

Menurun pada $(- \infty, \frac{8}{3})$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{8}{3}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $2.7\overline{6}$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (2.7\overline{6}) = 6 (2.7\overline{6}) - 16$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $6$ dengan $2.7\overline{6}$ .

$f'' (2.7\overline{6}) = 16.5\overline{9} - 16$

Langkah 7.2.2

Kurangi $16$ dengan $16.5\overline{9}$ .

$f'' (2.7\overline{6}) = 0.5\overline{9}$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.5\overline{9}$ .

$0.5\overline{9}$

Langkah 7.3

Pada $2.7\overline{6}$ , turunan keduanya adalah $0.5\overline{9}$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(\frac{8}{3}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{8}{3}, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$ .

$(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$

Langkah 9