Kalkulus Contoh

$y = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$

Langkah 1

Tulis $y = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$ sebagai fungsi.

$f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{4}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Langkah 2.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2)$

Langkah 2.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Langkah 2.1.4.3

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} (2)$

Langkah 2.1.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4 + 0$

Langkah 2.1.5.2

Tambahkan $- 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4$ dan $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Langkah 2.2.2.3

Kalikan $3$ dengan $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Langkah 2.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Langkah 2.2.3.3

Kalikan $2$ dengan $12$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 4)$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 24 x + 0$

Langkah 2.2.4.2

Tambahkan $- 12 x^{2} + 24 x$ dan $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 24 x$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 12 x^{2} + 24 x$ .

$- 12 x^{2} + 24 x$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 12 x^{2} + 24 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- 12 x^{2} + 24 x = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $- 12 x$ dari $- 12 x^{2} + 24 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $- 12 x$ dari $- 12 x^{2}$ .

$- 12 x \cdot x + 24 x = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $- 12 x$ dari $24 x$ .

$- 12 x \cdot x - 12 x \cdot - 2 = 0$

Langkah 3.2.3

Faktorkan $- 12 x$ dari $- 12 x (x) - 12 x (- 2)$ .

$- 12 x (x - 2) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Langkah 3.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.5

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 3.5.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- 12 x (x - 2) = 0$ benar.

$x = 0, 2$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $0$ dalam $f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = - {(0)}^{4} + 4 {(0)}^{3} - 4 \cdot 0 + 2$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = - 0 + 4 {(0)}^{3} - 4 \cdot 0 + 2$

Langkah 4.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 4 {(0)}^{3} - 4 \cdot 0 + 2$

Langkah 4.1.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 + 4 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 2$

Langkah 4.1.2.1.4

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 4 \cdot 0 + 2$

Langkah 4.1.2.1.5

Kalikan $- 4$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 2$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

Langkah 4.1.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Langkah 4.1.2.2.3

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$f (0) = 2$

Langkah 4.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$2$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $0$ dalam $f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$ adalah $(0, 2)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(0, 2)$

Langkah 4.3

Substitusikan $2$ dalam $f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = - {(2)}^{4} + 4 {(2)}^{3} - 4 \cdot 2 + 2$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$f (2) = - 1 \cdot 16 + 4 {(2)}^{3} - 4 \cdot 2 + 2$

Langkah 4.3.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$f (2) = - 16 + 4 {(2)}^{3} - 4 \cdot 2 + 2$

Langkah 4.3.2.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f (2) = - 16 + 4 \cdot 8 - 4 \cdot 2 + 2$

Langkah 4.3.2.1.4

Kalikan $4$ dengan $8$ .

$f (2) = - 16 + 32 - 4 \cdot 2 + 2$

Langkah 4.3.2.1.5

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$f (2) = - 16 + 32 - 8 + 2$

Langkah 4.3.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Tambahkan $- 16$ dan $32$ .

$f (2) = 16 - 8 + 2$

Langkah 4.3.2.2.2

Kurangi $8$ dengan $16$ .

$f (2) = 8 + 2$

Langkah 4.3.2.2.3

Tambahkan $8$ dan $2$ .

$f (2) = 10$

Langkah 4.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $10$ .

$10$

Langkah 4.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $2$ dalam $f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$ adalah $(2, 10)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(2, 10)$

Langkah 4.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(0, 2), (2, 10)$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 0.1) = - 12 {(- 0.1)}^{2} + 24 (- 0.1)$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 0.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 12 \cdot 0.01 + 24 (- 0.1)$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 12$ dengan $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.12 + 24 (- 0.1)$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $24$ dengan $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.12 - 2.4$

Langkah 6.2.2

Kurangi $2.4$ dengan $- 0.12$ .

$f'' (- 0.1) = - 2.52$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 2.52$ .

$- 2.52$

Langkah 6.3

Pada $- 0.1$ , turunan kedua adalah $- 2.52$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, 0)$

Menurun pada $(- \infty, 0)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, 2)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (1) = - 12 {(1)}^{2} + 24 (1)$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f'' (1) = - 12 \cdot 1 + 24 (1)$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $- 12$ dengan $1$ .

$f'' (1) = - 12 + 24 (1)$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $24$ dengan $1$ .

$f'' (1) = - 12 + 24$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $- 12$ dan $24$ .

$f'' (1) = 12$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $12$ .

$12$

Langkah 7.3

Pada $1$ , turunan keduanya adalah $12$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(0, 2)$ .

Meningkat pada $(0, 2)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(2, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $2.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (2.1) = - 12 {(2.1)}^{2} + 24 (2.1)$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $2.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (2.1) = - 12 \cdot 4.41 + 24 (2.1)$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $- 12$ dengan $4.41$ .

$f'' (2.1) = - 52.92 + 24 (2.1)$

Langkah 8.2.1.3

Kalikan $24$ dengan $2.1$ .

$f'' (2.1) = - 52.92 + 50.4$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $- 52.92$ dan $50.4$ .

$f'' (2.1) = - 2.52$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 2.52$ .

$- 2.52$

Langkah 8.3

Pada $2.1$ , turunan kedua adalah $- 2.52$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(2, \infty)$

Menurun pada $(2, \infty)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 2), (2, 10)$ .

$(0, 2), (2, 10)$

Langkah 10