Kalkulus Contoh

$x^{3} + y^{3} = 6 x y$

Langkah 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3}$ as a function of $x$ .

$y = 6 x y \to f (x) = 6 x y$

Langkah 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 6 x y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (6 x y)$

Langkah 2.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + y^{3}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Langkah 2.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x y$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 (x y' + y \cdot 1)$

Langkah 2.3.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$6 (x y' + y)$

Langkah 2.3.6

Terapkan sifat distributif.

$6 x y' + 6 y$

Langkah 2.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 6 x y' + 6 y$

Langkah 2.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Kurangkan $6 x y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 x y' = 6 y$

Langkah 2.5.2

Kurangkan $3 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y^{2} y' - 6 x y' = 6 y - 3 x^{2}$

Langkah 2.5.3

Faktorkan $3 y'$ dari $3 y^{2} y' - 6 x y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1

Faktorkan $3 y'$ dari $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 6 x y' = 6 y - 3 x^{2}$

Langkah 2.5.3.2

Faktorkan $3 y'$ dari $- 6 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$

Langkah 2.5.3.3

Faktorkan $3 y'$ dari $3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$

Langkah 2.5.4

Bagi setiap suku pada $3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$ dengan $3 (y^{2} - 2 x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1

Bagilah setiap suku di $3 y' (y^{2} - 2 x) = 6 y - 3 x^{2}$ dengan $3 (y^{2} - 2 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 2 x)}{3 (y^{2} - 2 x)} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Langkah 2.5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y' (y^{2} - 2 x)}{3 (y^{2} - 2 x)} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Langkah 2.5.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (y^{2} - 2 x)}{y^{2} - 2 x} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Langkah 2.5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2} - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y^{2} - 2 x)}{y^{2} - 2 x} = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Langkah 2.5.4.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{6 y}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Langkah 2.5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.3.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $6 y$ .

$y' = \frac{3 (2 y)}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Langkah 2.5.4.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{3 (2 y)}{3 (y^{2} - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Langkah 2.5.4.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Langkah 2.5.4.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 3$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.3.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Langkah 2.5.4.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.3.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 2 x)}$

Langkah 2.5.4.3.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Langkah 2.5.4.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{2 y}{y^{2} - 2 x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Langkah 2.5.4.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Langkah 2.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x}$

Langkah 3

Atur turunan tersebut ahar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{2 y - x^{2}}{y^{2} - 2 x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 y - x^{2} = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kurangkan $2 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x^{2} = - 2 y$

Langkah 3.2.2

Bagi setiap suku pada $- x^{2} = - 2 y$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x^{2} = - 2 y$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2 y}{- 1}$

Langkah 3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2 y}{- 1}$

Langkah 3.2.2.2.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2 y}{- 1}$

Langkah 3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{- 2 y}{- 1}$ .

$x^{2} = - 1 \cdot (- 2 y)$

Langkah 3.2.2.3.2

Tulis kembali $- 1 \cdot (- 2 y)$ sebagai $- (- 2 y)$ .

$x^{2} = - (- 2 y)$

Langkah 3.2.2.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$x^{2} = 2 y$

Langkah 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2 y}$

Langkah 3.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \sqrt{2 y}$

Langkah 3.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \sqrt{2 y}$

Langkah 3.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

$x = \sqrt{2 y}$

$x = - \sqrt{2 y}$

Langkah 4

Solve the function $f (x) = 6 x y$ at $x = \sqrt{2 y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $\sqrt{2 y}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\sqrt{2 y}) = 6 (\sqrt{2 y}) \cdot y$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan $6 \sqrt{2 y}$ dengan $y$ .

$f (\sqrt{2 y}) = 6 \sqrt{2 y} y$

Langkah 4.2.2

Jawaban akhirnya adalah $6 \sqrt{2 y} y$ .

$6 \sqrt{2 y} y$

Langkah 5

Solve the function $f (x) = 6 x y$ at $x = - \sqrt{2 y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \sqrt{2 y}$ pada pernyataan tersebut.

$f (- \sqrt{2 y}) = 6 (- \sqrt{2 y}) \cdot y$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$f (- \sqrt{2 y}) = - 6 \sqrt{2 y} y$

Langkah 5.2.2

Jawaban akhirnya adalah $- 6 \sqrt{2 y} y$ .

$- 6 \sqrt{2 y} y$

Langkah 6

The horizontal tangent lines are $y = 6 \sqrt{2 y} y, y = - 6 \sqrt{2 y} y$

$y = 6 \sqrt{2 y} y, y = - 6 \sqrt{2 y} y$

Langkah 7