Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{5}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 10 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$15 x^{4} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 10$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x]$

Langkah 1.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $15$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $15 x$ terhadap $x$ adalah $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 \cdot 1$

Langkah 1.1.4.3

Kalikan $15$ dengan $1$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 = 0$

Langkah 2.2

Substitusikan $u = x^{2}$ ke dalam persamaan. Hal ini akan membuat rumus kuadrat tersebut mudah digunakan.

$15 u^{2} - 30 u + 15 = 0$

$u = x^{2}$

Langkah 2.3

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Faktorkan $15$ dari $15 u^{2} - 30 u + 15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Faktorkan $15$ dari $15 u^{2}$ .

$15 (u^{2}) - 30 u + 15 = 0$

Langkah 2.3.1.2

Faktorkan $15$ dari $- 30 u$ .

$15 (u^{2}) + 15 (- 2 u) + 15 = 0$

Langkah 2.3.1.3

Faktorkan $15$ dari $15$ .

$15 (u^{2}) + 15 (- 2 u) + 15 (1) = 0$

Langkah 2.3.1.4

Faktorkan $15$ dari $15 (u^{2}) + 15 (- 2 u)$ .

$15 (u^{2} - 2 u) + 15 (1) = 0$

Langkah 2.3.1.5

Faktorkan $15$ dari $15 (u^{2} - 2 u) + 15 (1)$ .

$15 (u^{2} - 2 u + 1) = 0$

Langkah 2.3.2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$15 (u^{2} - 2 u + 1^{2}) = 0$

Langkah 2.3.2.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Langkah 2.3.2.3

Tulis kembali polinomialnya.

$15 (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Langkah 2.3.2.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = u$ dan $b = 1$ .

$15 {(u - 1)}^{2} = 0$

Langkah 2.4

Bagi setiap suku pada $15 {(u - 1)}^{2} = 0$ dengan $15$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Bagilah setiap suku di $15 {(u - 1)}^{2} = 0$ dengan $15$ .

$\frac{15 {(u - 1)}^{2}}{15} = \frac{0}{15}$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{15 {(u - 1)}^{2}}{15} = \frac{0}{15}$

Langkah 2.4.2.1.2

Bagilah ${(u - 1)}^{2}$ dengan $1$ .

${(u - 1)}^{2} = \frac{0}{15}$

Langkah 2.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Bagilah $0$ dengan $15$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Langkah 2.5

Atur $u - 1$ agar sama dengan $0$ .

$u - 1 = 0$

Langkah 2.6

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$u = 1$

Langkah 2.7

Substitusikan kembali nilai riil dari $u = x^{2}$ ke dalam persamaan yang diselesaikan.

$x^{2} = 1$

Langkah 2.8

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{1}$

Langkah 2.8.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm 1$

Langkah 2.8.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 1$

Langkah 2.8.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 1$

Langkah 2.8.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 1, - 1$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 4

Evaluasi $3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$3 {(1)}^{5} - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$3 \cdot 1 - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

Langkah 4.1.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

Langkah 4.1.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$3 - 10 \cdot 1 + 15 (1)$

Langkah 4.1.2.1.4

Kalikan $- 10$ dengan $1$ .

$3 - 10 + 15 (1)$

Langkah 4.1.2.1.5

Kalikan $15$ dengan $1$ .

$3 - 10 + 15$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kurangi $10$ dengan $3$ .

$- 7 + 15$

Langkah 4.1.2.2.2

Tambahkan $- 7$ dan $15$ .

$8$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $- 1$ untuk $x$ .

$3 {(- 1)}^{5} - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $5$ .

$3 \cdot - 1 - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

Langkah 4.2.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- 3 - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

Langkah 4.2.2.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$- 3 - 10 \cdot - 1 + 15 (- 1)$

Langkah 4.2.2.1.4

Kalikan $- 10$ dengan $- 1$ .

$- 3 + 10 + 15 (- 1)$

Langkah 4.2.2.1.5

Kalikan $15$ dengan $- 1$ .

$- 3 + 10 - 15$

Langkah 4.2.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Tambahkan $- 3$ dan $10$ .

$7 - 15$

Langkah 4.2.2.2.2

Kurangi $15$ dengan $7$ .

$- 8$

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(1, 8), (- 1, - 8)$

Langkah 5