Kalkulus Contoh

$y = x e^{- x}$

Langkah 1

Tulis $y = x e^{- x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = x e^{- x}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{- x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.3.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.3.3

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

Langkah 2.3.5

Kalikan $e^{- x}$ dengan $1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Susun kembali suku-suku.

$- e^{- x} x + e^{- x}$

Langkah 2.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- x e^{- x} + e^{- x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Langkah 3.2.2

$f'' (x) = - (x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Langkah 3.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $- x$ .

$f'' (x) = - (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Langkah 3.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f'' (x) = - (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Langkah 3.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $- x$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Langkah 3.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Langkah 3.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Langkah 3.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Langkah 3.2.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Langkah 3.2.8

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Langkah 3.2.9

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Langkah 3.2.10

Kalikan $e^{- x}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $- x$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

Langkah 3.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

Langkah 3.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- x$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

Langkah 3.3.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

Langkah 3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Langkah 3.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \cdot - 1$

Langkah 3.3.5

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 1 \cdot e^{- x}$

Langkah 3.3.6

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - e^{- x}$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = - (x (- e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

Langkah 3.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (x (e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

Langkah 3.4.2.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$f'' (x) = x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}$

Langkah 3.4.2.3

Kurangi $e^{- x}$ dengan $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

Langkah 3.4.3

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = e^{- x} x - 2 e^{- x}$

Langkah 3.4.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- x} x - 2 e^{- x}$ .

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$

Langkah 5

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 5.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 5.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 5.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$f' (x) = x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 5.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 5.1.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 5.1.3.3.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$f' (x) = x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 5.1.3.3.3

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 5.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

Langkah 5.1.3.5

Kalikan $e^{- x}$ dengan $1$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x}$

Langkah 5.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - e^{- x} x + e^{- x}$

Langkah 5.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$

Langkah 5.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Langkah 6

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- x e^{- x} + e^{- x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$

Langkah 6.2

Faktorkan $e^{- x}$ dari $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Faktorkan $e^{- x}$ dari $- x e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} = 0$

Langkah 6.2.2

Kalikan dengan $1$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1 = 0$

Langkah 6.2.3

Faktorkan $e^{- x}$ dari $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ .

$e^{- x} (- x + 1) = 0$

Langkah 6.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x + 1 = 0$

Langkah 6.4

Atur $e^{- x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Atur $e^{- x}$ sama dengan $0$ .

$e^{- x} = 0$

Langkah 6.4.2

Selesaikan $e^{- x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Langkah 6.4.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 6.4.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{- x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 6.5

Atur $- x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Atur $- x + 1$ sama dengan $0$ .

$- x + 1 = 0$

Langkah 6.5.2

Selesaikan $- x + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x = - 1$

Langkah 6.5.2.2

Bagi setiap suku pada $- x = - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 6.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 6.5.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 6.5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.2.3.1

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$x = 1$

Langkah 6.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $e^{- x} (- x + 1) = 0$ benar.

$x = 1$

Langkah 7

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 8

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 1$

Langkah 9

Evaluasi turunan kedua pada $x = 1$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$(1) e^{- (1)} - 2 e^{- (1)}$

Langkah 10

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Kalikan $e^{- (1)}$ dengan $1$ .

$e^{- (1)} - 2 e^{- (1)}$

Langkah 10.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$e^{- 1} - 2 e^{- (1)}$

Langkah 10.1.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} - 2 e^{- (1)}$

Langkah 10.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{e} - 2 e^{- 1}$

Langkah 10.1.5

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} - 2 \frac{1}{e}$

Langkah 10.1.6

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e} + \frac{- 2}{e}$

Langkah 10.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{e} - \frac{2}{e}$

Langkah 10.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1 - 2}{e}$

Langkah 10.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{- 1}{e}$

Langkah 10.2.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{e}$

Langkah 11

$x = 1$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 1$ adalah maksimum lokal

Langkah 12

Tentukan nilai y ketika $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = (1) \cdot e^{- (1)}$

Langkah 12.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Kalikan $e^{- (1)}$ dengan $1$ .

$f (1) = e^{- (1)}$

Langkah 12.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (1) = e^{- 1}$

Langkah 12.2.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e}$

Langkah 12.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Langkah 13

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = x e^{- x}$ .

$(1, \frac{1}{e})$ adalah maksimum lokal

Langkah 14