Kalkulus Contoh

Tentukan Maksimum dan Minimum Lokal g(x)=2x^4-20x^2+18
Langkah 1
Tentukan turunan pertama dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.2
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 1.2.3
Kalikan dengan .
Langkah 1.3
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.3.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.3.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 1.3.3
Kalikan dengan .
Langkah 1.4
Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.4.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.4.2
Tambahkan dan .
Langkah 2
Tentukan turunan kedua dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.2.3
Kalikan dengan .
Langkah 2.3
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.3.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.3.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.3.3
Kalikan dengan .
Langkah 3
Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan , lalu selesaikan.
Langkah 4
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.1
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap adalah .
Langkah 4.1.2
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.2.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 4.1.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 4.1.2.3
Kalikan dengan .
Langkah 4.1.3
Evaluasi .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.3.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 4.1.3.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 4.1.3.3
Kalikan dengan .
Langkah 4.1.4
Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.4.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 4.1.4.2
Tambahkan dan .
Langkah 4.2
Turunan pertama dari terhadap adalah .
Langkah 5
Buat turunan pertamanya agar sama dengan dan selesaikan persamaan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1
Buat turunan pertamanya agar sama dengan .
Langkah 5.2
Faktorkan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 5.2.2
Faktorkan dari .
Langkah 5.2.3
Faktorkan dari .
Langkah 5.3
Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan .
Langkah 5.4
Atur sama dengan .
Langkah 5.5
Atur agar sama dengan dan selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.5.1
Atur sama dengan .
Langkah 5.5.2
Selesaikan untuk .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.5.2.1
Tambahkan ke kedua sisi persamaan.
Langkah 5.5.2.2
Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.
Langkah 5.5.2.3
Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.5.2.3.1
Pertama, gunakan nilai positif dari untuk menemukan penyelesaian pertama.
Langkah 5.5.2.3.2
Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari untuk menemukan penyelesaian kedua.
Langkah 5.5.2.3.3
Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.
Langkah 5.6
Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat benar.
Langkah 6
Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.1
Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.
Langkah 7
Titik kritis untuk dievaluasi.
Langkah 8
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 9
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1.1
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 9.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 9.2
Kurangi dengan .
Langkah 10
adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah maksimum lokal
Langkah 11
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 11.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.2.1.1
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 11.2.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 11.2.1.3
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 11.2.1.4
Kalikan dengan .
Langkah 11.2.2
Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 11.2.2.1
Tambahkan dan .
Langkah 11.2.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 11.2.3
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 12
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 13
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.1.1
Tulis kembali sebagai .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.1.1.1
Gunakan untuk menuliskan kembali sebagai .
Langkah 13.1.1.2
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 13.1.1.3
Gabungkan dan .
Langkah 13.1.1.4
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 13.1.1.4.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 13.1.1.4.2
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 13.1.1.5
Evaluasi eksponennya.
Langkah 13.1.2
Kalikan dengan .
Langkah 13.2
Kurangi dengan .
Langkah 14
adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah minimum lokal
Langkah 15
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 15.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 15.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 15.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 15.2.1.1
Tulis kembali sebagai .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 15.2.1.1.1
Gunakan untuk menuliskan kembali sebagai .
Langkah 15.2.1.1.2
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 15.2.1.1.3
Gabungkan dan .
Langkah 15.2.1.1.4
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 15.2.1.1.4.1
Faktorkan dari .
Langkah 15.2.1.1.4.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 15.2.1.1.4.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 15.2.1.1.4.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 15.2.1.1.4.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 15.2.1.1.4.2.4
Bagilah dengan .
Langkah 15.2.1.2
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 15.2.1.3
Kalikan dengan .
Langkah 15.2.1.4
Tulis kembali sebagai .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 15.2.1.4.1
Gunakan untuk menuliskan kembali sebagai .
Langkah 15.2.1.4.2
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 15.2.1.4.3
Gabungkan dan .
Langkah 15.2.1.4.4
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 15.2.1.4.4.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 15.2.1.4.4.2
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 15.2.1.4.5
Evaluasi eksponennya.
Langkah 15.2.1.5
Kalikan dengan .
Langkah 15.2.2
Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 15.2.2.1
Kurangi dengan .
Langkah 15.2.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 15.2.3
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 16
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 17
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 17.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 17.1.1
Terapkan kaidah hasil kali ke .
Langkah 17.1.2
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 17.1.3
Kalikan dengan .
Langkah 17.1.4
Tulis kembali sebagai .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 17.1.4.1
Gunakan untuk menuliskan kembali sebagai .
Langkah 17.1.4.2
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 17.1.4.3
Gabungkan dan .
Langkah 17.1.4.4
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 17.1.4.4.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 17.1.4.4.2
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 17.1.4.5
Evaluasi eksponennya.
Langkah 17.1.5
Kalikan dengan .
Langkah 17.2
Kurangi dengan .
Langkah 18
adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.
adalah minimum lokal
Langkah 19
Tentukan nilai y ketika .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 19.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 19.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 19.2.1
Sederhanakan setiap suku.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 19.2.1.1
Terapkan kaidah hasil kali ke .
Langkah 19.2.1.2
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 19.2.1.3
Kalikan dengan .
Langkah 19.2.1.4
Tulis kembali sebagai .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 19.2.1.4.1
Gunakan untuk menuliskan kembali sebagai .
Langkah 19.2.1.4.2
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 19.2.1.4.3
Gabungkan dan .
Langkah 19.2.1.4.4
Hapus faktor persekutuan dari dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 19.2.1.4.4.1
Faktorkan dari .
Langkah 19.2.1.4.4.2
Batalkan faktor persekutuan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 19.2.1.4.4.2.1
Faktorkan dari .
Langkah 19.2.1.4.4.2.2
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 19.2.1.4.4.2.3
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 19.2.1.4.4.2.4
Bagilah dengan .
Langkah 19.2.1.5
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 19.2.1.6
Kalikan dengan .
Langkah 19.2.1.7
Terapkan kaidah hasil kali ke .
Langkah 19.2.1.8
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 19.2.1.9
Kalikan dengan .
Langkah 19.2.1.10
Tulis kembali sebagai .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 19.2.1.10.1
Gunakan untuk menuliskan kembali sebagai .
Langkah 19.2.1.10.2
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 19.2.1.10.3
Gabungkan dan .
Langkah 19.2.1.10.4
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 19.2.1.10.4.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 19.2.1.10.4.2
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 19.2.1.10.5
Evaluasi eksponennya.
Langkah 19.2.1.11
Kalikan dengan .
Langkah 19.2.2
Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 19.2.2.1
Kurangi dengan .
Langkah 19.2.2.2
Tambahkan dan .
Langkah 19.2.3
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 20
Ini adalah ekstrem lokal untuk .
adalah maksimum lokal
adalah minimum lokal
adalah minimum lokal
Langkah 21