Kalkulus Contoh

$f (x) = x + \cos (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$1 - \sin (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Langkah 2.1.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \cos (x)$

Langkah 2.3

Kurangi $\cos (x)$ dengan $0$ .

$f'' (x) = - \cos (x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$1 - \sin (x) = 0$

Langkah 4

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \sin (x) = - 1$

Langkah 5

Bagi setiap suku pada $- \sin (x) = - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagilah setiap suku di $- \sin (x) = - 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 5.2.2

Bagilah $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Langkah 6

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (1)$

Langkah 7

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Nilai eksak dari $\arcsin (1)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 8

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - \frac{π}{2}$

Langkah 9

Sederhanakan $π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 9.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 9.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 9.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Langkah 9.3.2

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 10

Penyelesaian untuk persamaan $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{π}{2}$

Langkah 11

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \cos (\frac{π}{2})$

Langkah 12

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$- 0$

Langkah 12.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$0$

Langkah 13

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \infty)$

Langkah 13.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $0$ , dari interval $(- \infty, \frac{π}{2})$ dalam turunan pertama $1 - \sin (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = 1 - \sin (0)$

Langkah 13.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.2.1.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$f' (0) = 1 - 0$

Langkah 13.2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f' (0) = 1 + 0$

Langkah 13.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f' (0) = 1$

Langkah 13.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 13.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $4$ , dari interval $(\frac{π}{2}, \infty)$ dalam turunan pertama $1 - \sin (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (4) = 1 - \sin (4)$

Langkah 13.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.2.1.1

Evaluasi $\sin (4)$ .

$f' (4) = 1 + 0.75680249$

Langkah 13.3.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 0.75680249$ .

$f' (4) = 1 + 0.75680249$

Langkah 13.3.2.2

Tambahkan $1$ dan $0.75680249$ .

$f' (4) = 1.75680249$

Langkah 13.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1.75680249$ .

$1.75680249$

Langkah 13.4

Karena turunan pertamanya tidak mengubah tanda-tanda di sekitar $x = \frac{π}{2}$ , ini bukan merupakan maksimum atau minimum lokal.

Bukan maksimum atau minimum lokal

Langkah 13.5

Tidak ada maksimum atau minimum lokal yang ditemukan untuk $f (x) = x + \cos (x)$ .

Tidak ada maksimum atau minimum lokal

Langkah 14