Kalkulus Contoh

Tentukan Maksimum dan Minimum Lokal f(x) = cube root of x-1
Langkah 1
Tentukan turunan pertama dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.1
Gunakan untuk menuliskan kembali sebagai .
Langkah 1.2
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.2.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 1.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 1.2.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 1.3
Untuk menuliskan sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan .
Langkah 1.4
Gabungkan dan .
Langkah 1.5
Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.
Langkah 1.6
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.6.1
Kalikan dengan .
Langkah 1.6.2
Kurangi dengan .
Langkah 1.7
Gabungkan pecahan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.7.1
Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.
Langkah 1.7.2
Gabungkan dan .
Langkah 1.7.3
Pindahkan menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif .
Langkah 1.8
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap (Variabel1) adalah .
Langkah 1.9
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 1.10
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 1.11
Sederhanakan pernyataannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 1.11.1
Tambahkan dan .
Langkah 1.11.2
Kalikan dengan .
Langkah 2
Tentukan turunan kedua dari fungsi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.1
Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.1.1
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.1.2
Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.1.2.1
Tulis kembali sebagai .
Langkah 2.1.2.2
Kalikan eksponen dalam .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.1.2.2.1
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 2.1.2.2.2
Kalikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.1.2.2.2.1
Gabungkan dan .
Langkah 2.1.2.2.2.2
Kalikan dengan .
Langkah 2.1.2.2.3
Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.
Langkah 2.2
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.2.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 2.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.2.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 2.3
Untuk menuliskan sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan .
Langkah 2.4
Gabungkan dan .
Langkah 2.5
Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.
Langkah 2.6
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.6.1
Kalikan dengan .
Langkah 2.6.2
Kurangi dengan .
Langkah 2.7
Gabungkan pecahan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.7.1
Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.
Langkah 2.7.2
Gabungkan dan .
Langkah 2.7.3
Sederhanakan pernyataannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.7.3.1
Pindahkan ke sebelah kiri .
Langkah 2.7.3.2
Pindahkan menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif .
Langkah 2.7.4
Kalikan dengan .
Langkah 2.7.5
Kalikan dengan .
Langkah 2.8
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap (Variabel1) adalah .
Langkah 2.9
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 2.10
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 2.11
Sederhanakan pernyataannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 2.11.1
Tambahkan dan .
Langkah 2.11.2
Kalikan dengan .
Langkah 3
Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan , lalu selesaikan.
Langkah 4
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1
Tentukan turunan pertamanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.1
Gunakan untuk menuliskan kembali sebagai .
Langkah 4.1.2
Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa adalah di mana dan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.2.1
Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur sebagai .
Langkah 4.1.2.2
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 4.1.2.3
Ganti semua kemunculan dengan .
Langkah 4.1.3
Untuk menuliskan sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan .
Langkah 4.1.4
Gabungkan dan .
Langkah 4.1.5
Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.
Langkah 4.1.6
Sederhanakan pembilangnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.6.1
Kalikan dengan .
Langkah 4.1.6.2
Kurangi dengan .
Langkah 4.1.7
Gabungkan pecahan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.7.1
Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.
Langkah 4.1.7.2
Gabungkan dan .
Langkah 4.1.7.3
Pindahkan menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif .
Langkah 4.1.8
Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari terhadap (Variabel1) adalah .
Langkah 4.1.9
Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa adalah di mana .
Langkah 4.1.10
Karena konstan terhadap , turunan dari terhadap adalah .
Langkah 4.1.11
Sederhanakan pernyataannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 4.1.11.1
Tambahkan dan .
Langkah 4.1.11.2
Kalikan dengan .
Langkah 4.2
Turunan pertama dari terhadap adalah .
Langkah 5
Buat turunan pertamanya agar sama dengan dan selesaikan persamaan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 5.1
Buat turunan pertamanya agar sama dengan .
Langkah 5.2
Atur agar pembilangnya sama dengan nol.
Langkah 5.3
Karena , tidak ada penyelesaian.
Tidak ada penyelesaian
Tidak ada penyelesaian
Langkah 6
Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.1
Gunakan rumus untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.
Langkah 6.2
Atur penyebut dalam agar sama dengan untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.
Langkah 6.3
Selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.1
Untuk menghilangkan akar pada sisi kiri persamaan, pangkatkan tiga kedua sisi persamaan.
Langkah 6.3.2
Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.2.1
Gunakan untuk menuliskan kembali sebagai .
Langkah 6.3.2.2
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.2.2.1
Sederhanakan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.2.2.1.1
Terapkan kaidah hasil kali ke .
Langkah 6.3.2.2.1.2
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 6.3.2.2.1.3
Kalikan eksponen dalam .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.2.2.1.3.1
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 6.3.2.2.1.3.2
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.2.2.1.3.2.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 6.3.2.2.1.3.2.2
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 6.3.2.3
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.2.3.1
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 6.3.3
Selesaikan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.3.1
Bagi setiap suku pada dengan dan sederhanakan.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.3.1.1
Bagilah setiap suku di dengan .
Langkah 6.3.3.1.2
Sederhanakan sisi kirinya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.3.1.2.1
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.3.1.2.1.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 6.3.3.1.2.1.2
Bagilah dengan .
Langkah 6.3.3.1.3
Sederhanakan sisi kanannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 6.3.3.1.3.1
Bagilah dengan .
Langkah 6.3.3.2
Atur agar sama dengan .
Langkah 6.3.3.3
Tambahkan ke kedua sisi persamaan.
Langkah 7
Titik kritis untuk dievaluasi.
Langkah 8
Evaluasi turunan kedua pada . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.
Langkah 9
Evaluasi turunan keduanya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1
Sederhanakan pernyataannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.1.1
Kurangi dengan .
Langkah 9.1.2
Tulis kembali sebagai .
Langkah 9.1.3
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 9.2
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.2.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 9.2.2
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 9.3
Sederhanakan pernyataannya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 9.3.1
Menaikkan ke sebarang pangkat positif menghasilkan .
Langkah 9.3.2
Kalikan dengan .
Langkah 9.3.3
Pernyataannya memuat pembagian oleh . Pernyataannya tidak terdefinisi.
Tidak terdefinisi
Langkah 9.4
Pernyataannya memuat pembagian oleh . Pernyataannya tidak terdefinisi.
Tidak terdefinisi
Tidak terdefinisi
Langkah 10
Karena setidaknya ada satu titik di atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.1
Bagi menjadi interval terpisah di sekitar nilai yang membuat turunan pertamanya atau tidak terdefinisi.
Langkah 10.2
Substitusikan bilangan apa pun, seperti , dari interval dalam turunan pertama untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.2.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 10.2.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.2.2.1
Sederhanakan penyebutnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.2.2.1.1
Kurangi dengan .
Langkah 10.2.2.1.2
Tulis kembali sebagai .
Langkah 10.2.2.1.3
Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, .
Langkah 10.2.2.1.4
Batalkan faktor persekutuan dari .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.2.2.1.4.1
Batalkan faktor persekutuan.
Langkah 10.2.2.1.4.2
Tulis kembali pernyataannya.
Langkah 10.2.2.1.5
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 10.2.2.2
Kalikan dengan .
Langkah 10.2.2.3
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 10.3
Substitusikan bilangan apa pun, seperti , dari interval dalam turunan pertama untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.3.1
Ganti variabel dengan pada pernyataan tersebut.
Langkah 10.3.2
Sederhanakan hasilnya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.3.2.1
Kurangi dengan .
Langkah 10.3.2.2
Kalikan dengan dengan menambahkan eksponennya.
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.3.2.2.1
Kalikan dengan .
Ketuk untuk lebih banyak langkah...
Langkah 10.3.2.2.1.1
Naikkan menjadi pangkat .
Langkah 10.3.2.2.1.2
Gunakan kaidah pangkat untuk menggabungkan pangkat.
Langkah 10.3.2.2.2
Tuliskan sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.
Langkah 10.3.2.2.3
Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.
Langkah 10.3.2.2.4
Tambahkan dan .
Langkah 10.3.2.3
Jawaban akhirnya adalah .
Langkah 10.4
Karena turunan pertamanya tidak mengubah tanda-tanda di sekitar , ini bukan merupakan maksimum atau minimum lokal.
Bukan maksimum atau minimum lokal
Langkah 10.5
Tidak ada maksimum atau minimum lokal yang ditemukan untuk .
Tidak ada maksimum atau minimum lokal
Tidak ada maksimum atau minimum lokal
Langkah 11