Kalkulus Contoh

$2 x^{2} + y^{2} = 54$ , $(5, 2)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 5$ dan $y = 2$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (54)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{2} + y^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$4 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$4 x + 2 y y'$

Langkah 1.2.4

Susun kembali suku-suku.

$2 y y' + 4 x$

Langkah 1.3

Karena $54$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $54$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 y y' + 4 x = 0$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kurangkan $4 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y y' = - 4 x$

Langkah 1.5.2

Bagi setiap suku pada $2 y y' = - 4 x$ dengan $2 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Bagilah setiap suku di $2 y y' = - 4 x$ dengan $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Langkah 1.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Langkah 1.5.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Langkah 1.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Langkah 1.5.2.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{2 y}$

Langkah 1.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 4 x$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

Langkah 1.5.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 y$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 (y)}$

Langkah 1.5.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

Langkah 1.5.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- 2 x}{y}$

Langkah 1.5.2.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2 x}{y}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 5$ dan $y = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $5$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{2 (5)}{y}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{2 (5)}{2}$

Langkah 1.7.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{2 \cdot 5}{2}$

Langkah 1.7.3.2

Bagilah $5$ dengan $1$ .

$- 1 \cdot 5$

Langkah 1.7.4

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$- 5$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- 5$ dan titik yang diberikan $(5, 2)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - 5 \cdot (x - (5))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 2 = - 5 \cdot (x - 5)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- 5 \cdot (x - 5)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 2 = 0 + 0 - 5 \cdot (x - 5)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 2 = - 5 \cdot (x - 5)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 2 = - 5 x - 5 \cdot - 5$

Langkah 2.3.1.4

Kalikan $- 5$ dengan $- 5$ .

$y - 2 = - 5 x + 25$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - 5 x + 25 + 2$

Langkah 2.3.2.2

Tambahkan $25$ dan $2$ .

$y = - 5 x + 27$

Langkah 3