Kalkulus Contoh

$x = - 1$ , $x = 2$ , $y = 3 e^{3 x}$ , $y = 2 e^{3 x} + 1$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} + 1$

Langkah 1.2

Selesaikan $3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} + 1$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Kurangkan $2 e^{3 x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} = 1$

Langkah 1.2.1.2

Kurangi $2 e^{3 x}$ dengan $3 e^{3 x}$ .

$e^{3 x} = 1$

Langkah 1.2.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{3 x}) = \ln (1)$

Langkah 1.2.3

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Perluas $\ln (e^{3 x})$ dengan memindahkan $3 x$ ke luar logaritma.

$3 x \ln (e) = \ln (1)$

Langkah 1.2.3.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$3 x \cdot 1 = \ln (1)$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 x = \ln (1)$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$3 x = 0$

Langkah 1.2.5

Bagi setiap suku pada $3 x = 0$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Bagilah setiap suku di $3 x = 0$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 1.2.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 1.2.5.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Langkah 1.2.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.3.1

Bagilah $0$ dengan $3$ .

$x = 0$

Langkah 1.3

Evaluasi $y$ ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$y = 2 e^{3 (0)} + 1$

Langkah 1.3.2

Sederhanakan $2 e^{3 (0)} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1.1

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$y = 2 e^{0} + 1$

Langkah 1.3.2.1.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$y = 2 \cdot 1 + 1$

Langkah 1.3.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = 2 + 1$

Langkah 1.3.2.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$y = 3$

Langkah 1.4

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(0, 3)$

Langkah 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 d x - \int_{- 1}^{0} 3 e^{3 x} d x$

Langkah 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $- 1$ dan $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 - (3 e^{3 x}) d x$

Langkah 3.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 - 3 e^{3 x} d x$

Langkah 3.3

Kurangi $3 e^{3 x}$ dengan $2 e^{3 x}$ .

$\int_{- 1}^{0} 1 - e^{3 x} d x$

Langkah 3.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{- 1}^{0} d x + \int_{- 1}^{0} - e^{3 x} d x$

Langkah 3.5

Terapkan aturan konstanta.

$x]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - e^{3 x} d x$

Langkah 3.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} e^{3 x} d x$

Langkah 3.7

Biarkan $u = 3 x$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Biarkan $u = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 3.7.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 3.7.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 3.7.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot - 1$

Langkah 3.7.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$u_{lower} = - 3$

Langkah 3.7.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 0$

Langkah 3.7.5

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$u_{upper} = 0$

Langkah 3.7.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 0$

Langkah 3.7.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 3}^{0} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Langkah 3.8

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 3}^{0} \frac{e^{u}}{3} d u$

Langkah 3.9

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$x]_{- 1}^{0} - (\frac{1}{3} \int_{- 3}^{0} e^{u} d u)$

Langkah 3.10

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$x]_{- 1}^{0} - \frac{1}{3} e^{u}]_{- 3}^{0}$

Langkah 3.11

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Evaluasi $x$ pada $0$ dan pada $- 1$ .

$(0) + 1 - \frac{1}{3} e^{u}]_{- 3}^{0}$

Langkah 3.11.2

Evaluasi $e^{u}$ pada $0$ dan pada $- 3$ .

$(0) + 1 - \frac{1}{3} ((e^{0}) - e^{- 3})$

Langkah 3.11.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.3.1

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1 - \frac{1}{3} ((e^{0}) - e^{- 3})$

Langkah 3.11.3.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$1 - \frac{1}{3} (1 - e^{- 3})$

Langkah 3.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{e^{3}})$

Langkah 3.12.1.2

Terapkan sifat distributif.

$1 - \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$

Langkah 3.12.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$

Langkah 3.12.1.4

Kalikan $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 - \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{e^{3}}$

Langkah 3.12.1.4.2

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{e^{3}}$

Langkah 3.12.1.4.3

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{e^{3}}$ .

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Langkah 3.12.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Langkah 3.12.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3 - 1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Langkah 3.12.4

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$\frac{2}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Langkah 4

$A r e a = \int_{0}^{2} 3 e^{3 x} d x - \int_{0}^{2} 2 e^{3 x} + 1 d x$

Langkah 5

Integralkan untuk menghitung luas antara $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{0}^{2} 3 e^{3 x} - (2 e^{3 x} + 1) d x$

Langkah 5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Terapkan sifat distributif.

$3 e^{3 x} - (2 e^{3 x}) - 1 \cdot 1$

Langkah 5.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1 \cdot 1$

Langkah 5.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1$

$\int_{0}^{2} 3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1 d x$

Langkah 5.3

Kurangi $2 e^{3 x}$ dengan $3 e^{3 x}$ .

$\int_{0}^{2} e^{3 x} - 1 d x$

Langkah 5.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{2} e^{3 x} d x + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Langkah 5.5

Biarkan $u = 3 x$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Biarkan $u = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 5.5.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 5.5.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 5.5.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Langkah 5.5.3

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 5.5.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2$

Langkah 5.5.5

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$u_{upper} = 6$

Langkah 5.5.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 6$

Langkah 5.5.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{6} e^{u} \frac{1}{3} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Langkah 5.6

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{6} \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Langkah 5.7

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Langkah 5.8

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6} + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Langkah 5.9

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6} + - x]_{0}^{2}$

Langkah 5.10

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.1

Evaluasi $e^{u}$ pada $6$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0}) + - x]_{0}^{2}$

Langkah 5.10.2

Evaluasi $- x$ pada $2$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Langkah 5.10.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.3.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1 \cdot 1) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Langkah 5.10.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Langkah 5.10.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) - 2 + 0$

Langkah 5.10.3.4

Tambahkan $- 2$ dan $0$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) - 2$

Langkah 5.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{3} e^{6} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2$

Langkah 5.11.1.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $e^{6}$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2$

Langkah 5.11.1.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $- 1$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1}{3} - 2$

Langkah 5.11.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} - 2$

Langkah 5.11.2

Untuk menuliskan $- 2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 5.11.3

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

Langkah 5.11.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1 - 2 \cdot 3}{3}$

Langkah 5.11.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.5.1

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1 - 6}{3}$

Langkah 5.11.5.2

Kurangi $6$ dengan $- 1$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 7}{3}$

Langkah 5.11.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{7}{3}$

Langkah 6

Jumlahkan luas $\frac{2}{3} + \frac{1}{3 e^{3}} + \frac{e^{6}}{3} - \frac{7}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 + e^{6} - 7}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Langkah 6.2

Kurangi $7$ dengan $2$ .

$\frac{e^{6} - 5}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Langkah 6.3

Untuk menuliskan $\frac{e^{6} - 5}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ .

$\frac{e^{6} - 5}{3} \cdot \frac{e^{3}}{e^{3}} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Langkah 6.4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Kalikan $\frac{e^{6} - 5}{3}$ dengan $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ .

$\frac{(e^{6} - 5) e^{3}}{3 e^{3}} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Langkah 6.4.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{(e^{6} - 5) e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Langkah 6.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{6} e^{3} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Langkah 6.5.2

Kalikan $e^{6}$ dengan $e^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{e^{6 + 3} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Langkah 6.5.2.2

Tambahkan $6$ dan $3$ .

$\frac{e^{9} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Langkah 7