Kalkulus Contoh

$x = t {(2 t + 1)}^{2}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (t {(2 t + 1)}^{2})$

Langkah 2

Turunan dari $x$ terhadap $t$ adalah $x'$ .

$x'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali ${(2 t + 1)}^{2}$ sebagai $(2 t + 1) (2 t + 1)$ .

$\frac{d}{d t} [t ((2 t + 1) (2 t + 1))]$

Langkah 3.2

Perluas $(2 t + 1) (2 t + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t + 1) + 1 (2 t + 1))]$

Langkah 3.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t + 1))]$

Langkah 3.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Langkah 3.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 t \cdot t + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Langkah 3.3.1.2

Kalikan $t$ dengan $t$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.1

Pindahkan $t$ .

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 (t \cdot t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Langkah 3.3.1.2.2

Kalikan $t$ dengan $t$ .

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 t^{2} + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Langkah 3.3.1.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Langkah 3.3.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Langkah 3.3.1.5

Kalikan $2 t$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 2 t + 1 \cdot 1)]$

Langkah 3.3.1.6

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 2 t + 1)]$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $2 t$ dan $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 4 t + 1)]$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ adalah $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ di mana $f (t) = t$ dan $g (t) = 4 t^{2} + 4 t + 1$ .

$t \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 4 t + 1] + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 3.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 t^{2} + 4 t + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$t (\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 3.5.2

Karena $4$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $4 t^{2}$ terhadap $t$ adalah $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$t (4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 3.5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$t (4 (2 t) + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 3.5.4

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$t (8 t + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 3.5.5

Karena $4$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $4 t$ terhadap $t$ adalah $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t (8 t + 4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 3.5.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$t (8 t + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 3.5.7

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$t (8 t + 4 + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 3.5.8

Karena $1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$t (8 t + 4 + 0) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 3.5.9

Tambahkan $8 t + 4$ dan $0$ .

$t (8 t + 4) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 3.5.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$t (8 t + 4) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \cdot 1$

Langkah 3.5.11

Kalikan $4 t^{2} + 4 t + 1$ dengan $1$ .

$t (8 t + 4) + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Langkah 3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Terapkan sifat distributif.

$t (8 t) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Langkah 3.6.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$8 (t^{1} t) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Langkah 3.6.2.2

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$8 (t^{1} t^{1}) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Langkah 3.6.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$8 t^{1 + 1} + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Langkah 3.6.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$8 t^{2} + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Langkah 3.6.2.5

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $t$ .

$8 t^{2} + 4 \cdot t + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Langkah 3.6.2.6

Tambahkan $8 t^{2}$ dan $4 t^{2}$ .

$12 t^{2} + 4 t + 4 t + 1$

Langkah 3.6.2.7

Tambahkan $4 t$ dan $4 t$ .

$12 t^{2} + 8 t + 1$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$x' = 12 t^{2} + 8 t + 1$

Langkah 5

Ganti $x'$ dengan $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = 12 t^{2} + 8 t + 1$