Kalkulus Contoh

$y = \sin (\sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{\sin (5 x)}$

Langkah 1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin (\sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{\sin (5 x)}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Langkah 2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{3}})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Langkah 2.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Langkah 2.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Langkah 2.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Langkah 2.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Langkah 2.7.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Langkah 2.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Langkah 2.9

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Langkah 2.10

Gabungkan $\cos (x^{\frac{1}{3}})$ dan $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}}) x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Langkah 2.11

Pindahkan $x^{- \frac{2}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Langkah 3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{\sin (5 x)}$ sebagai ${\sin (5 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [{\sin (5 x)}^{\frac{1}{3}}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ dan $g (x) = \sin (5 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $\sin (5 x)$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\sin (5 x)$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{3}$ sebagai $5 x$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Langkah 3.3.2

Turunan dari $\sin (u_{3})$ terhadap $u_{3}$ adalah $\cos (u_{3})$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Langkah 3.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan $5 x$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Langkah 3.4

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Langkah 3.6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Langkah 3.7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Langkah 3.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Langkah 3.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Langkah 3.9.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{- 2}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Langkah 3.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Langkah 3.11

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}} (\cos (5 x) \cdot 5)$

Langkah 3.12

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $\cos (5 x)$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}} (5 \cdot \cos (5 x))$

Langkah 3.13

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan ${\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} (5 \cos (5 x))$

Langkah 3.14

Gabungkan $5$ dan $\frac{{\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{5 {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cos (5 x)$

Langkah 3.15

Gabungkan $\frac{5 {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ dan $\cos (5 x)$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{5 {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}} \cos (5 x)}{3}$

Langkah 3.16

Pindahkan ${\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{5 \cos (5 x)}{3 {\sin (5 x)}^{\frac{2}{3}}}$