Kalkulus Contoh

$y = \frac{\ln (x)}{e^{2 x}}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 2

Kalikan eksponen dalam ${(e^{2 x})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{2 x \cdot 2}}$

Langkah 2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Langkah 3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{2 x} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Langkah 4

Gabungkan $e^{2 x}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Langkah 5

Kalikan $\frac{\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Langkah 6

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan.

$\frac{x (\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \frac{e^{2 x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

Langkah 6.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{e^{2 x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

Langkah 6.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

Langkah 7

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]))}{x e^{4 x}}$

Langkah 7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]))}{x e^{4 x}}$

Langkah 7.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]))}{x e^{4 x}}$

Langkah 8

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])))}{x e^{4 x}}$

Langkah 8.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- 2 \ln (x) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x])))}{x e^{4 x}}$

Langkah 8.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- 2 \ln (x) (e^{2 x} \cdot 1))}{x e^{4 x}}$

Langkah 8.4

Kalikan $e^{2 x}$ dengan $1$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- 2 \ln (x) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{e^{2 x} - 2 x (\ln (x) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

Langkah 9.1.2

Sederhanakan $- 2 \ln (x)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x^{2}) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

Langkah 9.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{e^{2 x} - x (\ln (x^{2}) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

$\frac{e^{2 x} - x e^{2 x} \ln (x^{2})}{x e^{4 x}}$

Langkah 9.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- e^{2 x} x \ln (x^{2}) + e^{2 x}}{e^{4 x} x}$

Langkah 9.3

Faktorkan $e^{2 x}$ dari $- e^{2 x} x \ln (x^{2}) + e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Faktorkan $e^{2 x}$ dari $- e^{2 x} x \ln (x^{2})$ .

$\frac{e^{2 x} (- x \ln (x^{2})) + e^{2 x}}{e^{4 x} x}$

Langkah 9.3.2

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{e^{2 x} (- x \ln (x^{2})) + e^{2 x} \cdot 1}{e^{4 x} x}$

Langkah 9.3.3

Faktorkan $e^{2 x}$ dari $e^{2 x} (- x \ln (x^{2})) + e^{2 x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{2 x} (- x \ln (x^{2}) + 1)}{e^{4 x} x}$

Langkah 9.4

Perluas $\ln (x^{2})$ dengan memindahkan $2$ ke luar logaritma.

$\frac{e^{2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1)}{e^{4 x} x}$

Langkah 9.5

Hapus faktor persekutuan dari $e^{2 x}$ dan $e^{4 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Faktorkan $e^{4 x}$ dari $e^{2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1)$ .

$\frac{e^{4 x} (e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1))}{e^{4 x} x}$

Langkah 9.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.2.1

Faktorkan $e^{4 x}$ dari $e^{4 x} x$ .

$\frac{e^{4 x} (e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1))}{e^{4 x} (x)}$

Langkah 9.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{4 x} (e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1))}{e^{4 x} x}$

Langkah 9.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1)}{x}$

Langkah 9.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 2 x \ln (x) + 1)}{x}$

Langkah 9.7

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x \ln (x)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x \ln (x)) + 1)}{x}$

Langkah 9.8

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x \ln (x)) - 1 (- 1))}{x}$

Langkah 9.9

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x \ln (x)) - 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x \ln (x) - 1))}{x}$

Langkah 9.10

Tulis kembali $- (2 x \ln (x) - 1)$ sebagai $- 1 (2 x \ln (x) - 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 1 (2 x \ln (x) - 1))}{x}$

Langkah 9.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{e^{- 2 x} (2 x \ln (x) - 1)}{x}$