Kalkulus Contoh

$y = \log_{2} (e^{- x} \cos (π x))$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \log_{2} (x)$ dan $g (x) = e^{- x} \cos (π x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $e^{- x} \cos (π x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{2} (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (π x)]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\log_{2} (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1} \ln (2)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (2)} \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (π x)]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $e^{- x} \cos (π x)$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (π x)]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = e^{- x}$ dan $g (x) = \cos (π x)$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = π x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $π x$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Langkah 3.2

Turunan dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $π x$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Langkah 4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Karena $π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $π x$ terhadap $x$ adalah $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) (π \cdot 1)) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Langkah 4.3

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Langkah 5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{3}$ sebagai $- x$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Langkah 5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ adalah $a^{u_{3}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x]))$

Langkah 5.3

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan $- x$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Langkah 6

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

Langkah 6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

Langkah 6.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} \cdot - 1))$

Langkah 6.3.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- 1 \cdot e^{- x}))$

Langkah 6.3.3

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- e^{- x}))$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π)) + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

Langkah 7.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gabungkan $e^{- x}$ dan $\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$ .

$\frac{e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (- \sin (π x) π) + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

Langkah 7.2.2

Gabungkan $\frac{e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$ dan $\sin (π x)$ .

$- \frac{e^{- x} \sin (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} π + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

Langkah 7.2.3

Gabungkan $π$ dan $\frac{e^{- x} \sin (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$ .

$- \frac{π (e^{- x} \sin (π x))}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

Langkah 7.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{π e^{- x} \sin (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

Langkah 7.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

Langkah 7.2.5

Gabungkan $\cos (π x)$ dan $\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$ .

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} + \frac{\cos (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (- e^{- x})$

Langkah 7.2.6

Gabungkan $\frac{\cos (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$ dan $e^{- x}$ .

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} - \frac{\cos (π x) e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$

Langkah 7.2.7

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (π x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} - \frac{\cos (π x) e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$

Langkah 7.2.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} - \frac{e^{- x}}{e^{- x} \ln (2)}$

Langkah 7.2.8

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} - \frac{e^{- x}}{e^{- x} \ln (2)}$

Langkah 7.2.8.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}$

Langkah 7.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Pisahkan pecahan.

$- (\frac{π}{\ln (2)} \cdot \frac{\sin (π x)}{\cos (π x)}) - \frac{1}{\ln (2)}$

Langkah 7.3.2

Konversikan dari $\frac{\sin (π x)}{\cos (π x)}$ ke $\tan (π x)$ .

$- (\frac{π}{\ln (2)} \tan (π x)) - \frac{1}{\ln (2)}$

Langkah 7.3.3

Gabungkan $\frac{π}{\ln (2)}$ dan $\tan (π x)$ .

$- \frac{π \tan (π x)}{\ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}$