Kalkulus Contoh

$y = \log_{5} (\sqrt{x^{2} - 1})$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} - 1}$ sebagai ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\log_{5} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \log_{5} (x)$ dan $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.2

Turunan dari $\log_{5} (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Langkah 7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Langkah 8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Langkah 10

Pindahkan ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Langkah 11

Kalikan $\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5))} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 12

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 13

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 13.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 14

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 14.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 15

Sederhanakan.

$\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Langkah 16

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 17

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 18

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} (2 x + 0)$

Langkah 19

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} (2 x)$

Langkah 19.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)}$ .

$\frac{2}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} x$

Langkah 19.3

Gabungkan $\frac{2}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)}$

Langkah 19.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)}$

Langkah 19.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x}{(x^{2} - 1) \ln (5)}$

Langkah 20

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x}{x^{2} \ln (5) - 1 \ln (5)}$

Langkah 20.2

Tulis kembali $- 1 \ln (5)$ sebagai $- \ln (5)$ .

$\frac{x}{x^{2} \ln (5) - \ln (5)}$