Kalkulus Contoh

$y = x^{1 - x}$

Langkah 1

Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan differensiasinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali $x^{1 - x}$ sebagai $e^{\ln (x^{1 - x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{1 - x})}]$

Langkah 1.2

Perluas $\ln (x^{1 - x})$ dengan memindahkan $1 - x$ ke luar logaritma.

$\frac{d}{d x} [e^{(1 - x) \ln (x)}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = (1 - x) \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $(1 - x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [(1 - x) \ln (x)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [(1 - x) \ln (x)]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $(1 - x) \ln (x)$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [(1 - x) \ln (x)]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = 1 - x$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [1 - x])$

Langkah 4

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [1 - x])$

Langkah 5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]))$

Langkah 5.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

Langkah 5.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 5.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 5.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- 1 \cdot 1))$

Langkah 5.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot - 1)$

Langkah 5.6.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $\ln (x)$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} - 1 \cdot \ln (x))$

Langkah 5.6.3

Tulis kembali $- 1 \ln (x)$ sebagai $- \ln (x)$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} - \ln (x))$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{1 \ln (x) - x \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} - \ln (x))$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$e^{1 \ln (x) - x \ln (x)} (1 \frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \ln (x))$

Langkah 6.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan $\ln (x)$ dengan $1$ .

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 \frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \ln (x))$

Langkah 6.3.2

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $1$ .

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \ln (x))$

Langkah 6.3.3

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $x$ .

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - \frac{x}{x} - \ln (x))$

Langkah 6.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - \frac{x}{x} - \ln (x))$

Langkah 6.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - 1 \cdot 1 - \ln (x))$

Langkah 6.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - 1 - \ln (x))$

Langkah 6.4

Terapkan sifat distributif.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} \frac{1}{x} + e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot - 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x))$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Gabungkan $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} + e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot - 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x))$

Langkah 6.5.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - 1 \cdot e^{\ln (x) - x \ln (x)} + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x))$

Langkah 6.5.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - 1 \cdot e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Langkah 6.6

Tulis kembali $- 1 e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ sebagai $- e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Langkah 6.7

Untuk menuliskan $- e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot \frac{x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Langkah 6.8

Gabungkan $- e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ dan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} + \frac{- e^{\ln (x) - x \ln (x)} x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Langkah 6.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Langkah 6.10

Faktorkan $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ dari $e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.10.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot 1 - e^{\ln (x) - x \ln (x)} x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Langkah 6.10.2

Faktorkan $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ dari $- e^{\ln (x) - x \ln (x)} x$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- x)}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Langkah 6.10.3

Faktorkan $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ dari $e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- x)$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x)}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Langkah 6.11

Untuk menuliskan $- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x)}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) \cdot \frac{x}{x}$

Langkah 6.12

Gabungkan $- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$ dan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x)}{x} + \frac{- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Langkah 6.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Langkah 6.14

Faktorkan $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ dari $e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.14.1

Faktorkan $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ dari $- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x) x)}{x}$

Langkah 6.14.2

Faktorkan $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ dari $e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x) x)$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x - \ln (x) x)}{x}$

Langkah 6.15

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x - \ln (x) x)}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x - x \ln (x))}{x}$