Kalkulus Contoh

$y = {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ dan $g (x) = 3 x^{2} + 5 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x^{2} + 5 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x^{2} + 5 x + 1$ .

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

Langkah 2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

Langkah 3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

Langkah 4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

Langkah 5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

Langkah 5.2

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

Langkah 6

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan ${(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

Langkah 7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} + 5 x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 8

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 10

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 11

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 13

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 14

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5 + 0)$

Langkah 15

Tambahkan $6 x + 5$ dan $0$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5)$

Langkah 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5)$ .

$(6 x + 5) \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 16.2

Terapkan sifat distributif.

$6 x \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 16.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.1

Faktorkan $2$ dari $6 x$ .

$2 (3 x) \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 16.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (3 x) \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 16.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$3 x (3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + 5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 16.4

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 16.5

Kalikan $5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.5.1

Gabungkan $5$ dan $\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{5 (3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2}$

Langkah 16.5.2

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 16.6

Untuk menuliskan $9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 16.7

Gabungkan $9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 16.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 16.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.9.1

Faktorkan $3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dari $9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.9.1.1

Susun kembali pernyataan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.9.1.1.1

Pindahkan ${(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 x \cdot 2 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 16.9.1.1.2

Pindahkan $x$ .

$\frac{9 \cdot 2 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 16.9.1.2

Faktorkan $3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dari $9 \cdot 2 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 2 x) + 15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 16.9.1.3

Faktorkan $3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dari $15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 2 x) + 3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (5)}{2}$

Langkah 16.9.1.4

Faktorkan $3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dari $3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 2 x) + 3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (5)$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 2 x + 5)}{2}$

Langkah 16.9.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (6 x + 5)}{2}$