Kalkulus Contoh

$\int (2 x) e^{4 x} d x$

Langkah 1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int (x) e^{4 x} d x$

Langkah 2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{4 x}$ .

$2 (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $e^{4 x}$ .

$2 (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Langkah 3.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Langkah 3.3

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $e^{4 x}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

Langkah 5

Biarkan $u = 4 x$ . Kemudian $d u = 4 d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 4 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 5.1.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Langkah 5.1.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

Langkah 6

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Langkah 8.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Langkah 9

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Langkah 10

Tulis kembali $2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ sebagai $2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Langkah 11

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 x$ .

$2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x$ .

$2 (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Langkah 12.1.2

Gabungkan $\frac{x}{4}$ dan $e^{4 x}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Langkah 12.1.3

Gabungkan $e^{4 x}$ dan $\frac{1}{16}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Langkah 12.2

Terapkan sifat distributif.

$2 \frac{x e^{4 x}}{4} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Langkah 12.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$2 \frac{x e^{4 x}}{2 (2)} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Langkah 12.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Langkah 12.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x e^{4 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Langkah 12.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{e^{4 x}}{16}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{16} + C$

Langkah 12.4.2

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$\frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 (8)} + C$

Langkah 12.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8} + C$

Langkah 12.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x e^{4 x}}{2} + \frac{- e^{4 x}}{8} + C$

Langkah 12.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{x e^{4 x}}{2} - \frac{e^{4 x}}{8} + C$

Langkah 13

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$