Kalkulus Contoh

f (x) = e^{2 x - 1}

$f (x) = e^{2 x - 1}$

Langkah 1

Tuliskan

f (x) = e^{2 x - 1}

$f (x) = e^{2 x - 1}$ sebagai sebuah persamaan.

y = e^{2 x - 1}

$y = e^{2 x - 1}$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

x = e^{2 y - 1}

$x = e^{2 y - 1}$

Langkah 3

Selesaikan

y

$y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai

e^{2 y - 1} = x

$e^{2 y - 1} = x$ .

e^{2 y - 1} = x

$e^{2 y - 1} = x$

Langkah 3.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

\ln (e^{2 y - 1}) = \ln (x)

$\ln (e^{2 y - 1}) = \ln (x)$

Langkah 3.3

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Perluas

\ln (e^{2 y - 1})

$\ln (e^{2 y - 1})$ dengan memindahkan

2 y - 1

$2 y - 1$ ke luar logaritma.

(2 y - 1) \ln (e) = \ln (x)

$(2 y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

Langkah 3.3.2

Log alami dari

e

$e$ adalah

1

$1$ .

(2 y - 1) \cdot 1 = \ln (x)

$(2 y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

Langkah 3.3.3

Kalikan

2 y - 1

$2 y - 1$ dengan

1

$1$ .

2 y - 1 = \ln (x)

$2 y - 1 = \ln (x)$

2 y - 1 = \ln (x)

$2 y - 1 = \ln (x)$

Langkah 3.4

Tambahkan

1

$1$ ke kedua sisi persamaan.

2 y = \ln (x) + 1

$2 y = \ln (x) + 1$

Langkah 3.5

Bagi setiap suku pada

2 y = \ln (x) + 1

$2 y = \ln (x) + 1$ dengan

2

$2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Bagilah setiap suku di

2 y = \ln (x) + 1

$2 y = \ln (x) + 1$ dengan

2

$2$ .

\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

2

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 3.5.2.1.2

Bagilah

y

$y$ dengan

1

$1$ .

y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 4

Ganti

y

$y$ dengan

f^{- 1} (x)

$f^{- 1} (x)$ untuk memunculkan jawaban akhir.

f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 5

Periksa apakah

f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ merupakan balikan dari

f (x) = e^{2 x - 1}

$f (x) = e^{2 x - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah

f^{- 1} (f (x)) = x

$f^{- 1} (f (x)) = x$ dan

f (f^{- 1} (x)) = x

$f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi

f^{- 1} (f (x))

$f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

f^{- 1} (f (x))

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi

f^{- 1} (e^{2 x - 1})

$f^{- 1} (e^{2 x - 1})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1})}{2} + \frac{1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1})}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 5.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1}) + 1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1}) + 1}{2}$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan

2 x - 1

$2 x - 1$ keluar dari eksponen.

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \ln (e) + 1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \ln (e) + 1}{2}$

Langkah 5.2.4.2

Log alami dari

e

$e$ adalah

1

$1$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \cdot 1 + 1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \cdot 1 + 1}{2}$

Langkah 5.2.4.3

Kalikan

2 x - 1

$2 x - 1$ dengan

1

$1$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Langkah 5.2.5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1

Gabungkan suku balikan dalam

2 x - 1 + 1

$2 x - 1 + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1.1

Tambahkan

- 1

$- 1$ dan

1

$1$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x + 0}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Langkah 5.2.5.1.2

Tambahkan

2 x

$2 x$ dan

0

$0$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Langkah 5.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari

2

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Langkah 5.2.5.2.2

Bagilah

x

$x$ dengan

1

$1$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi

f (f^{- 1} (x))

$f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

f (f^{- 1} (x))

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2})

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) - 1}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Tulis kembali

\frac{\ln (x)}{2}

$\frac{\ln (x)}{2}$ sebagai

\frac{1}{2} \ln (x)

$\frac{1}{2} \ln (x)$ .

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \frac{1}{2}) - 1}$

Langkah 5.3.3.1.2

Sederhanakan

\frac{1}{2} \ln (x)

$\frac{1}{2} \ln (x)$ dengan memindahkan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}$

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}$

Langkah 5.3.3.2

Terapkan sifat distributif.

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Langkah 5.3.3.3

Sederhanakan

2 \ln (x^{\frac{1}{2}})

$2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ dengan memindahkan

2

$2$ ke dalam logaritma.

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Langkah 5.3.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari

2

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Langkah 5.3.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}$

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}$

Langkah 5.3.3.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.1

Kalikan eksponen dalam

{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

Langkah 5.3.3.5.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari

2

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

Langkah 5.3.3.5.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

Langkah 5.3.3.5.2

Sederhanakan.

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

Langkah 5.3.4

Gabungkan suku balikan dalam

\ln (x) + 1 - 1

$\ln (x) + 1 - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Kurangi

1

$1$ dengan

1

$1$ .

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 0}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 0}$

Langkah 5.3.4.2

Tambahkan

\ln (x)

$\ln (x)$ dan

0

$0$ .

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x)}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x)}$

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x)}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x)}$

Langkah 5.3.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x$

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Langkah 5.4

Karena

f^{- 1} (f (x)) = x

$f^{- 1} (f (x)) = x$ dan

f (f^{- 1} (x)) = x

$f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka

f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ merupakan balikan dari

f (x) = e^{2 x - 1}

$f (x) = e^{2 x - 1}$ .

f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$