Kalkulus Contoh

$e^{2 x} = \sin (x + 3 y)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (e^{2 x}) = \frac{d}{d x} (\sin (x + 3 y))$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Langkah 2.2.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = x + 3 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 3 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 3 y$ .

$\cos (x + 3 y) \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 3 y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\cos (x + 3 y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\cos (x + 3 y) (1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Langkah 3.2.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 y$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + 3 y) (1 + 3 \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\cos (x + 3 y) (1 + 3 y')$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 e^{2 x} = \cos (x + 3 y) (1 + 3 y')$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\cos (x + 3 y) (1 + 3 y') = 2 e^{2 x}$ .

$\cos (x + 3 y) (1 + 3 y') = 2 e^{2 x}$

Langkah 5.2

Bagi setiap suku pada $\cos (x + 3 y) (1 + 3 y') = 2 e^{2 x}$ dengan $\cos (x + 3 y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Bagilah setiap suku di $\cos (x + 3 y) (1 + 3 y') = 2 e^{2 x}$ dengan $\cos (x + 3 y)$ .

$\frac{\cos (x + 3 y) (1 + 3 y')}{\cos (x + 3 y)} = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (x + 3 y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\cos (x + 3 y) (1 + 3 y')}{\cos (x + 3 y)} = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}$

Langkah 5.2.2.1.2

Bagilah $1 + 3 y'$ dengan $1$ .

$1 + 3 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}$

Langkah 5.3

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)} - 1$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $3 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)} - 1$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $3 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)} - 1$ dengan $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Langkah 5.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{- 1}{3}$

Langkah 5.4.3.1.2

Gabungkan.

$y' = \frac{2 e^{2 x} \cdot 1}{\cos (x + 3 y) \cdot 3} + \frac{- 1}{3}$

Langkah 5.4.3.1.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y) \cdot 3} + \frac{- 1}{3}$

Langkah 5.4.3.1.4

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\cos (x + 3 y)$ .

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot \cos (x + 3 y)} + \frac{- 1}{3}$

Langkah 5.4.3.1.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{3 \cos (x + 3 y)} - \frac{1}{3}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 e^{2 x}}{3 \cos (x + 3 y)} - \frac{1}{3}$