Kalkulus Contoh

$x^{2} y^{3} - 2 x y = 6 x + y + 1$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{3} - 2 x y) = \frac{d}{d x} (6 x + y + 1)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} y^{3} - 2 x y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Langkah 2.2.5

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$3 \cdot x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Langkah 2.2.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{3}$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x y$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x y' + y \cdot 1)$

Langkah 2.3.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x y' + y)$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x y') - 2 y$

Langkah 2.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 x y' - 2 y$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x + y + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 3.2.3

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$6 + y' + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 3.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$6 + y' + 0$

Langkah 3.5

Tambahkan $6 + y'$ dan $0$ .

$6 + y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 x y' - 2 y = 6 + y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 x y' - 2 y - y' = 6$

Langkah 5.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangkan $2 y^{3} x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x^{2} y^{2} y' - 2 x y' - 2 y - y' = 6 - 2 y^{3} x$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $2 y$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x^{2} y^{2} y' - 2 x y' - y' = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Langkah 5.3

Faktorkan $y'$ dari $3 x^{2} y^{2} y' - 2 x y' - y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $y'$ dari $3 x^{2} y^{2} y'$ .

$y' (3 x^{2} y^{2}) - 2 x y' - y' = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $y'$ dari $- 2 x y'$ .

$y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (- 2 x) - y' = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $y'$ dari $- y'$ .

$y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (- 2 x) + y' \cdot - 1 = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Langkah 5.3.4

Faktorkan $y'$ dari $y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (- 2 x)$ .

$y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x) + y' \cdot - 1 = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Langkah 5.3.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x) + y' \cdot - 1$ .

$y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1) = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1) = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$ dengan $3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1) = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$ dengan $3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1$ .

$\frac{y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1)}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} = \frac{6}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1)}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} = \frac{6}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Langkah 5.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{6}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{6}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} - \frac{2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Langkah 5.4.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{6 - 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Langkah 5.4.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{6 - 2 y^{3} x + 2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Langkah 5.4.3.4

Faktorkan $2$ dari $6 - 2 y^{3} x + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.4.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$y' = \frac{2 \cdot 3 - 2 y^{3} x + 2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Langkah 5.4.3.4.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 y^{3} x$ .

$y' = \frac{2 \cdot 3 + 2 (- y^{3} x) + 2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Langkah 5.4.3.4.3

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 3 + 2 (- y^{3} x)$ .

$y' = \frac{2 \cdot (3 - y^{3} x) + 2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Langkah 5.4.3.4.4

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot (3 - y^{3} x) + 2 y$ .

$y' = \frac{2 (3 - y^{3} x + y)}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 - y^{3} x + y)}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$