Kalkulus Contoh

${(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3}} = x^{2}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} ({(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ dan $g (x) = 11 x + 3 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $11 x + 3 y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $11 x + 3 y$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Langkah 2.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Langkah 2.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Langkah 2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Langkah 2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Langkah 2.5.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Langkah 2.6

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Langkah 2.6.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan ${(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Langkah 2.6.3

Pindahkan ${(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Langkah 2.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $11 x + 3 y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Langkah 2.8

Karena $11$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $11 x$ terhadap $x$ adalah $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Langkah 2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Langkah 2.10

Kalikan $11$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Langkah 2.11

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 y$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + 3 \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.12

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + 3 y')$

Langkah 2.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + 3 y')$ .

$(11 + 3 y') \frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 2.13.2

Kalikan $11 + 3 y'$ dengan $\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} = 2 x$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua ruas dengan $3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}) = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$3 \frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Langkah 5.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Langkah 5.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{11 + 3 y'}{{(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Langkah 5.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari ${(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{11 + 3 y'}{{(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Langkah 5.2.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$11 + 3 y' = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Langkah 5.2.1.1.4

Susun kembali $11$ dan $3 y'$ .

$3 y' + 11 = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan $2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$3 y' + 11 = 2 \cdot 3 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 5.2.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$3 y' + 11 = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 5.3

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kurangkan $11$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y' = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11$

Langkah 5.3.2

Bagi setiap suku pada $3 y' = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Bagilah setiap suku di $3 y' = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11$ dengan $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 11}{3}$

Langkah 5.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 11}{3}$

Langkah 5.3.2.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 11}{3}$

Langkah 5.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1.1

Faktorkan $3$ dari $6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ .

$y' = \frac{3 (2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{- 11}{3}$

Langkah 5.3.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$y' = \frac{3 (2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})}{3 (1)} + \frac{- 11}{3}$

Langkah 5.3.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{3 (2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{- 11}{3}$

Langkah 5.3.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{1} + \frac{- 11}{3}$

Langkah 5.3.2.3.1.2.4

Bagilah $2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ dengan $1$ .

$y' = 2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 11}{3}$

Langkah 5.3.2.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = 2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - \frac{11}{3}$

Langkah 5.3.2.3.2

Untuk menuliskan $2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y' = 2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{11}{3}$

Langkah 5.3.2.3.3

Gabungkan $2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y' = \frac{2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{11}{3}$

Langkah 5.3.2.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3 - 11}{3}$

Langkah 5.3.2.3.5

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$y' = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11}{3}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11}{3}$