Kalkulus Contoh

$\cos (x y) + x^{3} = y^{3}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y) + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{3})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\cos (x y) + x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\cos (x y)] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x y)] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\cos (x y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.2.1.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.2.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- \sin (x y) (x y' + y) + 3 x^{2}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y + 3 x^{2}$

Langkah 2.4.2

Susun kembali suku-suku.

$3 x^{2} - x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 y^{2} y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$3 x^{2} - x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = 3 y^{2} y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $3 x^{2} - x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ .

$3 x^{2} - x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = 3 y^{2} y'$

Langkah 5.2

Kurangkan $3 y^{2} y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x^{2} - x y' \sin (x y) - y \sin (x y) - 3 y^{2} y' = 0$

Langkah 5.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kurangkan $3 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Langkah 5.3.2

Tambahkan $y \sin (x y)$ ke kedua sisi persamaan.

$- x y' \sin (x y) - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} + y \sin (x y)$

Langkah 5.4

Faktorkan $y'$ dari $- x y' \sin (x y) - 3 y^{2} y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $y'$ dari $- x y' \sin (x y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} + y \sin (x y)$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $y'$ dari $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (- x \sin (x y)) + y' (- 3 y^{2}) = - 3 x^{2} + y \sin (x y)$

Langkah 5.4.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (- x \sin (x y)) + y' (- 3 y^{2})$ .

$y' (- x \sin (x y) - 3 y^{2}) = - 3 x^{2} + y \sin (x y)$

Langkah 5.5

Bagi setiap suku pada $y' (- x \sin (x y) - 3 y^{2}) = - 3 x^{2} + y \sin (x y)$ dengan $- x \sin (x y) - 3 y^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Bagilah setiap suku di $y' (- x \sin (x y) - 3 y^{2}) = - 3 x^{2} + y \sin (x y)$ dengan $- x \sin (x y) - 3 y^{2}$ .

$\frac{y' (- x \sin (x y) - 3 y^{2})}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- x \sin (x y) - 3 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (- x \sin (x y) - 3 y^{2})}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}}$

Langkah 5.5.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}}$

Langkah 5.5.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}}$

Langkah 5.5.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) + y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}}$

Langkah 5.5.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $y \sin (x y)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - (- y \sin (x y))}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}}$

Langkah 5.5.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 x^{2}) - (- y \sin (x y))$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - y \sin (x y))}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}}$

Langkah 5.5.3.6

Tulis kembali $- (3 x^{2} - y \sin (x y))$ sebagai $- 1 (3 x^{2} - y \sin (x y))$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y \sin (x y))}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}}$

Langkah 5.5.3.7

Faktorkan $- 1$ dari $- x \sin (x y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y \sin (x y))}{- (x \sin (x y)) - 3 y^{2}}$

Langkah 5.5.3.8

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 y^{2}$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y \sin (x y))}{- (x \sin (x y)) - (3 y^{2})}$

Langkah 5.5.3.9

Faktorkan $- 1$ dari $- (x \sin (x y)) - (3 y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y \sin (x y))}{- (x \sin (x y) + 3 y^{2})}$

Langkah 5.5.3.10

Tulis kembali $- (x \sin (x y) + 3 y^{2})$ sebagai $- 1 (x \sin (x y) + 3 y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y \sin (x y))}{- 1 (x \sin (x y) + 3 y^{2})}$

Langkah 5.5.3.11

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y \sin (x y))}{- 1 (x \sin (x y) + 3 y^{2})}$

Langkah 5.5.3.12

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{3 x^{2} - y \sin (x y)}{x \sin (x y) + 3 y^{2}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - y \sin (x y)}{x \sin (x y) + 3 y^{2}}$