Kalkulus Contoh

$4 x y + \ln (x^{2} y) = 7$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (4 x y + \ln (x^{2} y)) = \frac{d}{d x} (7)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x y + \ln (x^{2} y)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x y$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

Langkah 2.2.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{2} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} y$ .

$4 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Langkah 2.3.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Langkah 2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} y$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + y (2 x))$

Langkah 2.3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + 2 y x)$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$4 (x y') + 4 y + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + 2 y x)$

Langkah 2.4.2

Terapkan sifat distributif.

$4 (x y') + 4 y + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y') + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

Langkah 2.4.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{x^{2} y}$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{x^{2}}{x^{2} y} y' + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

Langkah 2.4.3.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{x^{2} y}$ dan $y'$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

Langkah 2.4.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 x y' + 4 y + \frac{x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

Langkah 2.4.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

Langkah 2.4.3.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x^{2} y}$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x^{2} y} (y x)$

Langkah 2.4.3.5

Gabungkan $y$ dan $\frac{2}{x^{2} y}$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 2}{x^{2} y} x$

Langkah 2.4.3.6

Gabungkan $\frac{y \cdot 2}{x^{2} y}$ dan $x$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 2 x}{x^{2} y}$

Langkah 2.4.3.7

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2 \cdot y x}{x^{2} y}$

Langkah 2.4.3.8

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2 y x}{x^{2} y}$

Langkah 2.4.3.8.2

Tulis kembali pernyataannya.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2 x}{x^{2}}$

Langkah 2.4.3.9

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.9.1

Faktorkan $x$ dari $2 x$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Langkah 2.4.3.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.9.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Langkah 2.4.3.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Langkah 2.4.3.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x}$

Langkah 3

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x} = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, 1, y, x, 1$

Langkah 5.1.2

Karena $1, 1, y, x, 1$ memiliki bilangan dan variabel, ada dua langkah untuk menemukan KPK. Temukan KPK untuk bagian numerik $1, 1, 1, 1, 1$ kemudian temukan KPK untuk bagian variabel $y^{1}, x^{1}$ .

Langkah 5.1.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 5.1.4

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 5.1.5

KPK dari $1, 1, 1, 1, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$1$

Langkah 5.1.6

Faktor untuk $y^{1}$ adalah $y$ itu sendiri.

$y^{1} = y$

$y$ terjadi $1$ kali.

Langkah 5.1.7

Faktor untuk $x^{1}$ adalah $x$ itu sendiri.

$x^{1} = x$

$x$ terjadi $1$ kali.

Langkah 5.1.8

KPK dari $y^{1}, x^{1}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$y x$

Langkah 5.2

Kalikan setiap suku pada $4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x} = 0$ dengan $y x$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan setiap suku dalam $4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x} = 0$ dengan $y x$ .

$4 x y' (y x) + 4 y (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$4 (x \cdot x) y' y + 4 y (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2.1.2

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.1

Pindahkan $y$ .

$4 x^{2} y' y + 4 (y \cdot y) x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2.1.2.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.3.1

Faktorkan $y$ dari $y x$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + \frac{y'}{y} (y (x)) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.4.1

Faktorkan $x$ dari $y x$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + \frac{2}{x} (x y) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + \frac{2}{x} (x y) = 0 (y x)$

Langkah 5.2.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + 2 y = 0 (y x)$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Kalikan $0 (y x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.1

Kalikan $y$ dengan $0$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + 2 y = 0 x$

Langkah 5.2.3.1.2

Kalikan $0$ dengan $x$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + 2 y = 0$

Langkah 5.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Kurangkan $4 y^{2} x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 x^{2} y' y + y' x + 2 y = - 4 y^{2} x$

Langkah 5.3.1.2

Kurangkan $2 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 x^{2} y' y + y' x = - 4 y^{2} x - 2 y$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $x y'$ dari $4 x^{2} y' y + y' x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Faktorkan $x y'$ dari $4 x^{2} y' y$ .

$x y' (4 x y) + y' x = - 4 y^{2} x - 2 y$

Langkah 5.3.2.2

Faktorkan $x y'$ dari $y' x$ .

$x y' (4 x y) + x y' \cdot 1 = - 4 y^{2} x - 2 y$

Langkah 5.3.2.3

Faktorkan $x y'$ dari $x y' (4 x y) + x y' \cdot 1$ .

$x y' (4 x y + 1) = - 4 y^{2} x - 2 y$

Langkah 5.3.3

Bagi setiap suku pada $x y' (4 x y + 1) = - 4 y^{2} x - 2 y$ dengan $x (4 x y + 1)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Bagilah setiap suku di $x y' (4 x y + 1) = - 4 y^{2} x - 2 y$ dengan $x (4 x y + 1)$ .

$\frac{x y' (4 x y + 1)}{x (4 x y + 1)} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Langkah 5.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y' (4 x y + 1)}{x (4 x y + 1)} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Langkah 5.3.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (4 x y + 1)}{4 x y + 1} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Langkah 5.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4 x y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (4 x y + 1)}{4 x y + 1} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Langkah 5.3.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Langkah 5.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- 4 y^{2}}{4 x y + 1} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(4 x y + 1) x$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.3.1

Kalikan $\frac{4 y^{2}}{4 x y + 1}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{4 y^{2} x}{(4 x y + 1) x} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(4 x y + 1) x$ .

$y' = - \frac{4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 4 y^{2} x - 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.5

Faktorkan $2 y$ dari $- 4 y^{2} x - 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.5.1

Faktorkan $2 y$ dari $- 4 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 y (- 2 y x) - 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.5.2

Faktorkan $2 y$ dari $- 2 y$ .

$y' = \frac{2 y (- 2 y x) + 2 y (- 1)}{x (4 x y + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.5.3

Faktorkan $2 y$ dari $2 y (- 2 y x) + 2 y (- 1)$ .

$y' = \frac{2 y (- 2 y x - 1)}{x (4 x y + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 y x$ .

$y' = \frac{2 y (- (2 y x) - 1)}{x (4 x y + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.7

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{2 y (- (2 y x) - 1 (1))}{x (4 x y + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 y x) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{2 y (- (2 y x + 1))}{x (4 x y + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.9.1

Tulis kembali $- (2 y x + 1)$ sebagai $- 1 (2 y x + 1)$ .

$y' = \frac{2 y (- 1 (2 y x + 1))}{x (4 x y + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.9.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{(2 y) (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$

Langkah 5.3.3.3.9.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{(2 y) (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$ .

$y' = - \frac{2 y (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$