Kalkulus Contoh

$15 x = 15 y + 5 y^{3} + 3 y^{5}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (15 x) = \frac{d}{d x} (15 y + 5 y^{3} + 3 y^{5})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $15$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $15 x$ terhadap $x$ adalah $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$15 \cdot 1$

Langkah 2.3

Kalikan $15$ dengan $1$ .

$15$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $15 y + 5 y^{3} + 3 y^{5}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [15 y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [15 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $15$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $15 y$ terhadap $x$ adalah $15 \frac{d}{d x} [y]$ .

$15 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$15 y' + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 y^{3}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$15 y' + 5 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y$ .

$15 y' + 5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Langkah 3.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$15 y' + 5 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Langkah 3.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y$ .

$15 y' + 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$15 y' + 5 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Langkah 3.3.4

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 y^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 y^{5}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 \frac{d}{d x} [y^{5}]$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{5}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.4.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.4.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (5 y^{4} y')$

Langkah 3.4.4

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 15 y^{4} y'$

Langkah 3.5

Susun kembali suku-suku.

$15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$15 = 15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y' = 15$ .

$15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y' = 15$

Langkah 5.2

Faktorkan $15 y'$ dari $15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $15 y'$ dari $15 y^{2} y'$ .

$15 y' y^{2} + 15 y^{4} y' + 15 y' = 15$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $15 y'$ dari $15 y^{4} y'$ .

$15 y' y^{2} + 15 y' y^{4} + 15 y' = 15$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $15 y'$ dari $15 y'$ .

$15 y' y^{2} + 15 y' y^{4} + 15 y' \cdot 1 = 15$

Langkah 5.2.4

Faktorkan $15 y'$ dari $15 y' y^{2} + 15 y' y^{4}$ .

$15 y' (y^{2} + y^{4}) + 15 y' \cdot 1 = 15$

Langkah 5.2.5

Faktorkan $15 y'$ dari $15 y' (y^{2} + y^{4}) + 15 y' \cdot 1$ .

$15 y' (y^{2} + y^{4} + 1) = 15$

Langkah 5.3

Susun kembali suku-suku.

$15 y' (y^{4} + y^{2} + 1) = 15$

Langkah 5.4

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Tulis kembali $y^{4} + y^{2} + 1$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1

Tulis kembali suku tengahnya.

$15 y' (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 - y^{2} + 1) = 15$

Langkah 5.4.1.2

Susun kembali suku-suku.

$15 y' (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 + 1 - y^{2}) = 15$

Langkah 5.4.1.3

Faktorkan tiga suku pertama dengan aturan kuadrat sempurna.

$15 y' ({(y^{2} + 1)}^{2} - y^{2}) = 15$

Langkah 5.4.1.4

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = y^{2} + 1$ dan $b = y$ .

$15 y' ((y^{2} + 1 + y) (y^{2} + 1 - y)) = 15$

Langkah 5.4.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.5.1

Susun kembali suku-suku.

$15 y' ((y^{2} + y + 1) (y^{2} + 1 - y)) = 15$

Langkah 5.4.1.5.2

Susun kembali suku-suku.

$15 y' ((y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)) = 15$

Langkah 5.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1) = 15$

Langkah 5.5

Bagi setiap suku pada $15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1) = 15$ dengan $15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Bagilah setiap suku di $15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1) = 15$ dengan $15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)$ .

$\frac{15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Langkah 5.5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Langkah 5.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2} + y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Langkah 5.5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (y^{2} - y + 1)}{y^{2} - y + 1} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Langkah 5.5.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2} - y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y^{2} - y + 1)}{y^{2} - y + 1} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Langkah 5.5.2.3.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Langkah 5.5.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{1}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$