Kalkulus Contoh

${(3 x y + 7)}^{2} = 6 y$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} ({(3 x y + 7)}^{2}) = \frac{d}{d x} (6 y)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${(3 x y + 7)}^{2}$ sebagai $(3 x y + 7) (3 x y + 7)$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x y + 7) (3 x y + 7)]$

Langkah 2.2

Perluas $(3 x y + 7) (3 x y + 7)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y + 7) + 7 (3 x y + 7)]$

Langkah 2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y) + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y + 7)]$

Langkah 2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y) + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Langkah 2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x \cdot x) y (3 y) + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Langkah 2.3.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y (3 y) + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Pindahkan $y$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} (y \cdot y) \cdot 3 + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Langkah 2.3.1.2.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} \cdot 3 + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Langkah 2.3.1.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Langkah 2.3.1.4

Kalikan $7$ dengan $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 21 x y + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $3$ dengan $7$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 21 x y + 21 (x y) + 7 \cdot 7]$

Langkah 2.3.1.6

Kalikan $7$ dengan $7$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 21 x y + 21 x y + 49]$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $21 x y$ dan $21 x y$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 42 x y + 49]$

Langkah 2.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $9 x^{2} y^{2} + 42 x y + 49$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Langkah 2.4.2

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 x^{2} y^{2}$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y^{2}$ .

$9 (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$9 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Langkah 2.6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$9 (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Langkah 2.6.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$9 (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Langkah 2.7

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$9 (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Langkah 2.8

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$9 (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Langkah 2.9

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$9 (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Langkah 2.9.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Langkah 2.9.3

Karena $42$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $42 x y$ terhadap $x$ adalah $42 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Langkah 2.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [49]$

Langkah 2.11

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [49]$

Langkah 2.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [49]$

Langkah 2.13

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [49]$

Langkah 2.14

Karena $49$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $49$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y) + 0$

Langkah 2.15

Tambahkan $9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y)$ dan $0$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y)$

Langkah 2.16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.16.1

Terapkan sifat distributif.

$9 (2 x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 42 (x y' + y)$

Langkah 2.16.2

Terapkan sifat distributif.

$9 (2 x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 42 (x y') + 42 y$

Langkah 2.16.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.16.3.1

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$18 (x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 42 (x y') + 42 y$

Langkah 2.16.3.2

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 42 x y' + 42 y$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 y$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$6 y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 42 x y' + 42 y = 6 y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $6 y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 42 x y' + 42 y - 6 y' = 0$

Langkah 5.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangkan $18 y^{2} x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$18 x^{2} y y' + 42 x y' + 42 y - 6 y' = - 18 y^{2} x$

Langkah 5.2.2

Kurangkan $42 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$18 x^{2} y y' + 42 x y' - 6 y' = - 18 y^{2} x - 42 y$

Langkah 5.3

Faktorkan $6 y'$ dari $18 x^{2} y y' + 42 x y' - 6 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $6 y'$ dari $18 x^{2} y y'$ .

$6 y' (3 x^{2} y) + 42 x y' - 6 y' = - 18 y^{2} x - 42 y$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $6 y'$ dari $42 x y'$ .

$6 y' (3 x^{2} y) + 6 y' (7 x) - 6 y' = - 18 y^{2} x - 42 y$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $6 y'$ dari $- 6 y'$ .

$6 y' (3 x^{2} y) + 6 y' (7 x) + 6 y' \cdot - 1 = - 18 y^{2} x - 42 y$

Langkah 5.3.4

Faktorkan $6 y'$ dari $6 y' (3 x^{2} y) + 6 y' (7 x)$ .

$6 y' (3 x^{2} y + 7 x) + 6 y' \cdot - 1 = - 18 y^{2} x - 42 y$

Langkah 5.3.5

Faktorkan $6 y'$ dari $6 y' (3 x^{2} y + 7 x) + 6 y' \cdot - 1$ .

$6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1) = - 18 y^{2} x - 42 y$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1) = - 18 y^{2} x - 42 y$ dengan $6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1) = - 18 y^{2} x - 42 y$ dengan $6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)$ .

$\frac{6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Langkah 5.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (3 x^{2} y + 7 x - 1)}{3 x^{2} y + 7 x - 1} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Langkah 5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3 x^{2} y + 7 x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (3 x^{2} y + 7 x - 1)}{3 x^{2} y + 7 x - 1} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Langkah 5.4.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 18$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1.1

Faktorkan $6$ dari $- 18 y^{2} x$ .

$y' = \frac{6 (- 3 y^{2} x)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Langkah 5.4.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{6 (- 3 y^{2} x)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Langkah 5.4.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- 3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Langkah 5.4.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Langkah 5.4.3.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 42$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.3.1

Faktorkan $6$ dari $- 42 y$ .

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{6 (- 7 y)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Langkah 5.4.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{6 (- 7 y)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Langkah 5.4.3.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{- 7 y}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Langkah 5.4.3.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} - \frac{7 y}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Langkah 5.4.3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 3 y^{2} x - 7 y}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Langkah 5.4.3.2.2

Faktorkan $y$ dari $- 3 y^{2} x - 7 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.2.1

Faktorkan $y$ dari $- 3 y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- 3 y x) - 7 y}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Langkah 5.4.3.2.2.2

Faktorkan $y$ dari $- 7 y$ .

$y' = \frac{y (- 3 y x) + y \cdot - 7}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Langkah 5.4.3.2.2.3

Faktorkan $y$ dari $y (- 3 y x) + y \cdot - 7$ .

$y' = \frac{y (- 3 y x - 7)}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Langkah 5.4.3.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 y x$ .

$y' = \frac{y (- (3 y x) - 7)}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Langkah 5.4.3.2.4

Tulis kembali $- 7$ sebagai $- 1 (7)$ .

$y' = \frac{y (- (3 y x) - 1 (7))}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Langkah 5.4.3.2.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 y x) - 1 (7)$ .

$y' = \frac{y (- (3 y x + 7))}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Langkah 5.4.3.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.6.1

Tulis kembali $- (3 y x + 7)$ sebagai $- 1 (3 y x + 7)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (3 y x + 7))}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Langkah 5.4.3.2.6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y (3 y x + 7)}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (3 y x + 7)}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$