Kalkulus Contoh

$\sin (x) = x (1 + \tan (y))$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\sin (x)) = \frac{d}{d x} (x (1 + \tan (y)))$

Langkah 2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = 1 + \tan (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [1 + \tan (y)] + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \tan (y)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (y)]$ .

$x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (y)]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [\tan (y)]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [\tan (y)]$ .

$x \frac{d}{d x} [\tan (y)] + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \tan (x)$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [y]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.2

Turunan dari $\tan (u)$ terhadap $u$ adalah $\sec^{2} (u)$ .

$x (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x (\sec^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x \sec^{2} (y) y' + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x \sec^{2} (y) y' + (1 + \tan (y)) \cdot 1$

Langkah 3.6

Kalikan $1 + \tan (y)$ dengan $1$ .

$x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y)$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\cos (x) = x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y)$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y) = \cos (x)$ .

$x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y) = \cos (x)$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y)$ .

$x y' \sec^{2} (y) + 1 + \tan (y) = \cos (x)$

Langkah 5.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y' \sec^{2} (y) + \tan (y) = \cos (x) - 1$

Langkah 5.3.2

Kurangkan $\tan (y)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$

Langkah 5.3.3

Tulis kembali $\tan (y)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

Langkah 5.3.4

Konversikan dari $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ ke $\tan (y)$ .

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$ dengan $x \sec^{2} (y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$ dengan $x \sec^{2} (y)$ .

$\frac{x y' \sec^{2} (y)}{x \sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y' \sec^{2} (y)}{x \sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Langkah 5.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' \sec^{2} (y)}{\sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Langkah 5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\sec^{2} (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' \sec^{2} (y)}{\sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Langkah 5.4.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1

Faktorkan $\sec (y)$ dari $\sec^{2} (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{x (\sec (y) \sec (y))} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Langkah 5.4.3.1.2

Pisahkan pecahan.

$y' = \frac{1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sec (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Langkah 5.4.3.1.3

Tulis kembali $\sec (y)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$y' = \frac{1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (y)}} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Langkah 5.4.3.1.4

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = \frac{1}{x (\sec (y))} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Langkah 5.4.3.1.5

Pisahkan pecahan.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\sec (y)} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Langkah 5.4.3.1.6

Tulis kembali $\sec (y)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Langkah 5.4.3.1.7

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = \frac{1}{x} (1 \cos (y)) (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Langkah 5.4.3.1.8

Kalikan $\cos (y)$ dengan $1$ .

$y' = \frac{1}{x} \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Langkah 5.4.3.1.9

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $\cos (y)$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{x} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Langkah 5.4.3.1.10

Kalikan $\frac{\cos (y)}{x} (\cos (x) \cos (y))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.10.1

Gabungkan $\cos (x)$ dan $\frac{\cos (y)}{x}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{x} \cos (y) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Langkah 5.4.3.1.10.2

Gabungkan $\frac{\cos (x) \cos (y)}{x}$ dan $\cos (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \cos (y)}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Langkah 5.4.3.1.10.3

Naikkan $\cos (y)$ menjadi pangkat $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) (\cos^{1} (y) \cos (y))}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Langkah 5.4.3.1.10.4

Naikkan $\cos (y)$ menjadi pangkat $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) (\cos^{1} (y) \cos^{1} (y))}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Langkah 5.4.3.1.10.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y' = \frac{\cos (x) {\cos (y)}^{1 + 1}}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Langkah 5.4.3.1.10.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Langkah 5.4.3.1.11

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.11.1

Tulis kembali $\sec (y)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x {(\frac{1}{\cos (y)})}^{2}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Langkah 5.4.3.1.11.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Langkah 5.4.3.1.11.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x \frac{1}{\cos^{2} (y)}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Langkah 5.4.3.1.12

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{\frac{x}{\cos^{2} (y)}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Langkah 5.4.3.1.13

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Langkah 5.4.3.1.14

Faktorkan $\sec (y)$ dari $\sec^{2} (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- \tan (y)}{x (\sec (y) \sec (y))}$

Langkah 5.4.3.1.15

Pisahkan pecahan.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\tan (y)}{\sec (y)}$

Langkah 5.4.3.1.16

Tulis kembali $\sec (y)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\tan (y)}{\frac{1}{\cos (y)}}$

Langkah 5.4.3.1.17

Tulis kembali $\tan (y)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{\frac{1}{\cos (y)}}$

Langkah 5.4.3.1.18

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cos (y))$

Langkah 5.4.3.1.19

Tulis $\cos (y)$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{1})$

Langkah 5.4.3.1.20

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.20.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{1})$

Langkah 5.4.3.1.20.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \sin (y)$

Langkah 5.4.3.1.21

Pisahkan pecahan.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} \cdot \frac{1}{\sec (y)} \sin (y)$

Langkah 5.4.3.1.22

Tulis kembali $\sec (y)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} \sin (y)$

Langkah 5.4.3.1.23

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} (1 \cos (y)) \sin (y)$

Langkah 5.4.3.1.24

Kalikan $\cos (y)$ dengan $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} \cos (y) \sin (y)$

Langkah 5.4.3.1.25

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{1}{x} \cos (y) \sin (y)$

Langkah 5.4.3.1.26

Gabungkan $\cos (y)$ dan $\frac{1}{x}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos (y)}{x} \sin (y)$

Langkah 5.4.3.1.27

Gabungkan $\sin (y)$ dan $\frac{\cos (y)}{x}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{\sin (y) \cos (y)}{x}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{\sin (y) \cos (y)}{x}$