Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 10$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} - 4 x^{3} + 10$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [10]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [10]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [10]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 0$

Langkah 1.1.3.2

Tambahkan $4 x^{3} - 12 x^{2}$ dan $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $4 x^{2}$ dari $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $4 x^{2}$ dari $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $4 x^{2}$ dari $- 12 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $4 x^{2}$ dari $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ .

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $x^{2}$ sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $x^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 2.4.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 2.4.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 2.4.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.5

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x - 3$ sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $4 x^{2} (x - 3) = 0$ benar.

$x = 0, 3$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0, 3$ .

$0, 3$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1 - 12 {(- 1)}^{2}$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 12 {(- 1)}^{2}$

Langkah 5.2.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = - 4 - 12 \cdot 1$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan $- 12$ dengan $1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 12$

Langkah 5.2.2

Kurangi $12$ dengan $- 4$ .

$f' (- 1) = - 16$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 16$ .

$- 16$

Langkah 5.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $- 16$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, 0)$ .

Menurun pada $(- \infty, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(0, 3)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 {(\frac{3}{2})}^{3} - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Langkah 6.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{2^{3}}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Langkah 6.2.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{8}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Langkah 6.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 (2)}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Langkah 6.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 \cdot 2}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Langkah 6.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Langkah 6.2.1.5

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Langkah 6.2.1.6

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 \frac{9}{2^{2}}$

Langkah 6.2.1.7

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 (\frac{9}{4})$

Langkah 6.2.1.8

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.8.1

Faktorkan $4$ dari $- 12$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 4 (- 3) (\frac{9}{4})$

Langkah 6.2.1.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 4 \cdot (- 3 (\frac{9}{4}))$

Langkah 6.2.1.8.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 3 \cdot 9$

Langkah 6.2.1.9

Kalikan $- 3$ dengan $9$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 27$

Langkah 6.2.2

Untuk menuliskan $- 27$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 27 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 6.2.3

Gabungkan $- 27$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2}$

Langkah 6.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 27 \cdot 2}{2}$

Langkah 6.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.5.1

Kalikan $- 27$ dengan $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 54}{2}$

Langkah 6.2.5.2

Kurangi $54$ dengan $27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27}{2}$

Langkah 6.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{27}{2}$

Langkah 6.2.7

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{27}{2}$ .

$- \frac{27}{2}$

Langkah 6.3

Pada $x = \frac{3}{2}$ , turunannya adalah $- \frac{27}{2}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, 3)$ .

Menurun pada $(0, 3)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(3, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 12 {(4)}^{2}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Kalikan $4$ dengan ${(4)}^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1.1

Kalikan $4$ dengan ${(4)}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 12 {(4)}^{2}$

Langkah 7.2.1.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 12 {(4)}^{2}$

Langkah 7.2.1.1.2

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$f' (4) = 4^{4} - 12 {(4)}^{2}$

Langkah 7.2.1.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $4$ .

$f' (4) = 256 - 12 {(4)}^{2}$

Langkah 7.2.1.3

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (4) = 256 - 12 \cdot 16$

Langkah 7.2.1.4

Kalikan $- 12$ dengan $16$ .

$f' (4) = 256 - 192$

Langkah 7.2.2

Kurangi $192$ dengan $256$ .

$f' (4) = 64$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $64$ .

$64$

Langkah 7.3

Pada $x = 4$ , turunannya adalah $64$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(3, \infty)$ .

Meningkat pada $(3, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(3, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, 0), (0, 3)$

Langkah 9