Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{4} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{4} x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Langkah 1.1.2.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = \frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Langkah 1.1.2.4

Gabungkan $\frac{4}{4}$ dan $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Langkah 1.1.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Langkah 1.1.2.5.2

Bagilah $x^{3}$ dengan $1$ .

$f' (x) = x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2}$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = x^{3} - 2 (2 x)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f' (x) = x^{3} - 4 x$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x^{3} - 4 x$ .

$x^{3} - 4 x$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x^{3} - 4 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$x^{3} - 4 x = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3} - 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

Langkah 2.2.1.2

Faktorkan $x$ dari $- 4 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

Langkah 2.2.1.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$x (x^{2} - 4) = 0$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Langkah 2.2.3.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.5

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 2.5.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 2.6

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 2.6.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 2.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x (x + 2) (x - 2) = 0$ benar.

$x = 0, - 2, 2$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0, - 2, 2$ .

$0, - 2, 2$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 2)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 3) = {(- 3)}^{3} - 4 \cdot - 3$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 3) = - 27 - 4 \cdot - 3$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 3$ .

$f' (- 3) = - 27 + 12$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $- 27$ dan $12$ .

$f' (- 3) = - 15$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 15$ .

$- 15$

Langkah 5.3

Pada $x = - 3$ , turunannya adalah $- 15$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - 2)$ .

Menurun pada $(- \infty, - 2)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 2, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{3} - 4 \cdot - 1$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 1) = - 1 - 4 \cdot - 1$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = - 1 + 4$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $- 1$ dan $4$ .

$f' (- 1) = 3$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $3$ .

$3$

Langkah 6.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $3$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 2, 0)$ .

Meningkat pada $(- 2, 0)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, 2)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = {(1)}^{3} - 4 \cdot 1$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = 1 - 4 \cdot 1$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$f' (1) = 1 - 4$

Langkah 7.2.2

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$f' (1) = - 3$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3$ .

$- 3$

Langkah 7.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $- 3$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, 2)$ .

Menurun pada $(0, 2)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(2, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3) = {(3)}^{3} - 4 \cdot 3$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (3) = 27 - 4 \cdot 3$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$f' (3) = 27 - 12$

Langkah 8.2.2

Kurangi $12$ dengan $27$ .

$f' (3) = 15$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $15$ .

$15$

Langkah 8.3

Pada $x = 3$ , turunannya adalah $15$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(2, \infty)$ .

Meningkat pada $(2, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- 2, 0), (2, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, - 2), (0, 2)$

Langkah 10