Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{4} + 4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2})$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2}$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $12 x^{3} + 12 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $3$ dengan $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$36 x^{2} + 12 (2 x)$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $2$ dengan $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $36 x^{2} + 24 x$ .

$36 x^{2} + 24 x$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $36 x^{2} + 24 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$36 x^{2} + 24 x = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $12 x$ dari $36 x^{2} + 24 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $12 x$ dari $36 x^{2}$ .

$12 x (3 x) + 24 x = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $12 x$ dari $24 x$ .

$12 x (3 x) + 12 x (2) = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $12 x$ dari $12 x (3 x) + 12 x (2)$ .

$12 x (3 x + 2) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$3 x + 2 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.5

Atur $3 x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $3 x + 2$ sama dengan $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $3 x + 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x = - 2$

Langkah 2.5.2.2

Bagi setiap suku pada $3 x = - 2$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = - 2$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Langkah 2.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Langkah 2.5.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Langkah 2.5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{2}{3}$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $12 x (3 x + 2) = 0$ benar.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $0$ dalam $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = 3 {(0)}^{4} + 4 {(0)}^{3}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 + 4 {(0)}^{3}$

Langkah 3.1.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 4 {(0)}^{3}$

Langkah 3.1.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 + 4 \cdot 0$

Langkah 3.1.2.1.4

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Langkah 3.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0$

Langkah 3.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $0$ dalam $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ adalah $(0, 0)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(0, 0)$

Langkah 3.3

Substitusikan $- \frac{2}{3}$ dalam $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{2}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 {(- \frac{2}{3})}^{4} + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{2}{3})}^{4}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Langkah 3.3.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Langkah 3.3.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (1 (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Langkah 3.3.2.1.3

Kalikan $\frac{2^{4}}{3^{4}}$ dengan $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Langkah 3.3.2.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3^{4}}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Langkah 3.3.2.1.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{81}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Langkah 3.3.2.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.6.1

Faktorkan $3$ dari $81$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 (27)}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Langkah 3.3.2.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 \cdot 27}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Langkah 3.3.2.1.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

Langkah 3.3.2.1.7

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.7.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3})$

Langkah 3.3.2.1.7.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}}))$

Langkah 3.3.2.1.8

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 (- \frac{2^{3}}{3^{3}})$

Langkah 3.3.2.1.9

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 (- \frac{8}{3^{3}})$

Langkah 3.3.2.1.10

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 (- \frac{8}{27})$

Langkah 3.3.2.1.11

Kalikan $4 (- \frac{8}{27})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.11.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 (\frac{8}{27})$

Langkah 3.3.2.1.11.2

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{8}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 4 \cdot 8}{27}$

Langkah 3.3.2.1.11.3

Kalikan $- 4$ dengan $8$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 32}{27}$

Langkah 3.3.2.1.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{32}{27}$

Langkah 3.3.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16 - 32}{27}$

Langkah 3.3.2.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.2.1

Kurangi $32$ dengan $16$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 16}{27}$

Langkah 3.3.2.2.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{16}{27}$

Langkah 3.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{16}{27}$ .

$- \frac{16}{27}$

Langkah 3.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- \frac{2}{3}$ dalam $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ adalah $(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$

Langkah 3.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(0, 0), (- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - \frac{2}{3})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.7\overline{6}$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 36 {(- 0.7\overline{6})}^{2} + 24 (- 0.7\overline{6})$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 0.7\overline{6}$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 36 \cdot 0.58\overline{7} + 24 (- 0.7\overline{6})$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $36$ dengan $0.58\overline{7}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 21.16 + 24 (- 0.7\overline{6})$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $24$ dengan $- 0.7\overline{6}$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 21.16 - 18.4$

Langkah 5.2.2

Kurangi $18.4$ dengan $21.16$ .

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 2.76$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2.76$ .

$2.76$

Langkah 5.3

Pada $- 0.7\overline{6}$ , turunan keduanya adalah $2.76$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty, - \frac{2}{3})$ .

Meningkat pada $(- \infty, - \frac{2}{3})$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \frac{2}{3}, 0)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.\overline{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 0.\overline{3}) = 36 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 24 (- 0.\overline{3})$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 0.\overline{3}$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 36 \cdot 0.\overline{1} + 24 (- 0.\overline{3})$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $36$ dengan $0.\overline{1}$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 4 + 24 (- 0.\overline{3})$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $24$ dengan $- 0.\overline{3}$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = 4 - 8$

Langkah 6.2.2

Kurangi $8$ dengan $4$ .

$f'' (- 0.\overline{3}) = - 4$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 4$ .

$- 4$

Langkah 6.3

Pada $- 0.\overline{3}$ , turunan kedua adalah $- 4$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \frac{2}{3}, 0)$

Menurun pada $(- \frac{2}{3}, 0)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.1) = 36 {(0.1)}^{2} + 24 (0.1)$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $0.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (0.1) = 36 \cdot 0.01 + 24 (0.1)$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $36$ dengan $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.36 + 24 (0.1)$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $24$ dengan $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.36 + 2.4$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $0.36$ dan $2.4$ .

$f'' (0.1) = 2.76$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2.76$ .

$2.76$

Langkah 7.3

Pada $0.1$ , turunan keduanya adalah $2.76$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Titik belok adalah sebuah titik pada kurva di mana kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik-titik belok dalam kasus ini adalah $(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27}), (0, 0)$ .

$(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27}), (0, 0)$

Langkah 9