Kalkulus Contoh

$- x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$

Langkah 1

Tulis $- x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ sebagai fungsi.

$f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{6}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 6$ .

$- (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$- 6 x^{5} + \frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [42 x^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $42$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $42 x^{5}$ terhadap $x$ adalah $42 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 6 x^{5} + 42 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$- 6 x^{5} + 42 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $5$ dengan $42$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [19]$

Langkah 2.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 42 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Karena $- 42$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 42 x$ terhadap $x$ adalah $- 42 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [19]$

Langkah 2.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [19]$

Langkah 2.1.4.3

Kalikan $- 42$ dengan $1$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 + \frac{d}{d x} [19]$

Langkah 2.1.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Karena $19$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $19$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42 + 0$

Langkah 2.1.5.2

Tambahkan $- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42$ dan $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 6 x^{5} + 210 x^{4} - 42$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 x^{5}$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$- 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Langkah 2.2.2.3

Kalikan $5$ dengan $- 6$ .

$- 30 x^{4} + \frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Langkah 2.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [210 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Karena $210$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $210 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $210 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 30 x^{4} + 210 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 42]$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$- 30 x^{4} + 210 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 42]$

Langkah 2.2.3.3

Kalikan $4$ dengan $210$ .

$- 30 x^{4} + 840 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 42]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Karena $- 42$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 42$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 30 x^{4} + 840 x^{3} + 0$

Langkah 2.2.4.2

Tambahkan $- 30 x^{4} + 840 x^{3}$ dan $0$ .

$f'' (x) = - 30 x^{4} + 840 x^{3}$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 30 x^{4} + 840 x^{3}$ .

$- 30 x^{4} + 840 x^{3}$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 30 x^{4} + 840 x^{3} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- 30 x^{4} + 840 x^{3} = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $- 30 x^{3}$ dari $- 30 x^{4} + 840 x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $- 30 x^{3}$ dari $- 30 x^{4}$ .

$- 30 x^{3} x + 840 x^{3} = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $- 30 x^{3}$ dari $840 x^{3}$ .

$- 30 x^{3} x - 30 x^{3} \cdot - 28 = 0$

Langkah 3.2.3

Faktorkan $- 30 x^{3}$ dari $- 30 x^{3} (x) - 30 x^{3} (- 28)$ .

$- 30 x^{3} (x - 28) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 28 = 0$

Langkah 3.4

Atur $x^{3}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $x^{3}$ sama dengan $0$ .

$x^{3} = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $x^{3} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \sqrt[3]{0}$

Langkah 3.4.2.2

Sederhanakan $\sqrt[3]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 3.4.2.2.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$x = 0$

Langkah 3.5

Atur $x - 28$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $x - 28$ sama dengan $0$ .

$x - 28 = 0$

Langkah 3.5.2

Tambahkan $28$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 28$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- 30 x^{3} (x - 28) = 0$ benar.

$x = 0, 28$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $0$ dalam $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = - {(0)}^{6} + 42 {(0)}^{5} - 42 \cdot 0 + 19$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = - 0 + 42 {(0)}^{5} - 42 \cdot 0 + 19$

Langkah 4.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 42 {(0)}^{5} - 42 \cdot 0 + 19$

Langkah 4.1.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 + 42 \cdot 0 - 42 \cdot 0 + 19$

Langkah 4.1.2.1.4

Kalikan $42$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 42 \cdot 0 + 19$

Langkah 4.1.2.1.5

Kalikan $- 42$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 19$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 19$

Langkah 4.1.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0 + 19$

Langkah 4.1.2.2.3

Tambahkan $0$ dan $19$ .

$f (0) = 19$

Langkah 4.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $19$ .

$19$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $0$ dalam $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ adalah $(0, 19)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(0, 19)$

Langkah 4.3

Substitusikan $28$ dalam $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $28$ pada pernyataan tersebut.

$f (28) = - {(28)}^{6} + 42 {(28)}^{5} - 42 \cdot 28 + 19$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Naikkan $28$ menjadi pangkat $6$ .

$f (28) = - 1 \cdot 481890304 + 42 {(28)}^{5} - 42 \cdot 28 + 19$

Langkah 4.3.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $481890304$ .

$f (28) = - 481890304 + 42 {(28)}^{5} - 42 \cdot 28 + 19$

Langkah 4.3.2.1.3

Naikkan $28$ menjadi pangkat $5$ .

$f (28) = - 481890304 + 42 \cdot 17210368 - 42 \cdot 28 + 19$

Langkah 4.3.2.1.4

Kalikan $42$ dengan $17210368$ .

$f (28) = - 481890304 + 722835456 - 42 \cdot 28 + 19$

Langkah 4.3.2.1.5

Kalikan $- 42$ dengan $28$ .

$f (28) = - 481890304 + 722835456 - 1176 + 19$

Langkah 4.3.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Tambahkan $- 481890304$ dan $722835456$ .

$f (28) = 240945152 - 1176 + 19$

Langkah 4.3.2.2.2

Kurangi $1176$ dengan $240945152$ .

$f (28) = 240943976 + 19$

Langkah 4.3.2.2.3

Tambahkan $240943976$ dan $19$ .

$f (28) = 240943995$

Langkah 4.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $240943995$ .

$240943995$

Langkah 4.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $28$ dalam $f (x) = - x^{6} + 42 x^{5} - 42 x + 19$ adalah $(28, 240943995)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(28, 240943995)$

Langkah 4.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(0, 19), (28, 240943995)$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, 0) \cup (0, 28) \cup (28, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 0.1) = - 30 {(- 0.1)}^{4} + 840 {(- 0.1)}^{3}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 0.1$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (- 0.1) = - 30 \cdot 0.0001 + 840 {(- 0.1)}^{3}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 30$ dengan $0.0001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 840 {(- 0.1)}^{3}$

Langkah 6.2.1.3

Naikkan $- 0.1$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 + 840 \cdot - 0.001$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $840$ dengan $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.003 - 0.84$

Langkah 6.2.2

Kurangi $0.84$ dengan $- 0.003$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.843$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 0.843$ .

$- 0.843$

Langkah 6.3

Pada $- 0.1$ , turunan kedua adalah $- 0.843$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, 0)$

Menurun pada $(- \infty, 0)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, 28)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $14$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (14) = - 30 {(14)}^{4} + 840 {(14)}^{3}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $14$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (14) = - 30 \cdot 38416 + 840 {(14)}^{3}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $- 30$ dengan $38416$ .

$f'' (14) = - 1152480 + 840 {(14)}^{3}$

Langkah 7.2.1.3

Naikkan $14$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (14) = - 1152480 + 840 \cdot 2744$

Langkah 7.2.1.4

Kalikan $840$ dengan $2744$ .

$f'' (14) = - 1152480 + 2304960$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $- 1152480$ dan $2304960$ .

$f'' (14) = 1152480$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1152480$ .

$1152480$

Langkah 7.3

Pada $14$ , turunan keduanya adalah $1152480$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(0, 28)$ .

Meningkat pada $(0, 28)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(28, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $28.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (28.1) = - 30 {(28.1)}^{4} + 840 {(28.1)}^{3}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $28.1$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (28.1) = - 30 \cdot 623483.9521 + 840 {(28.1)}^{3}$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $- 30$ dengan $623483.9521$ .

$f'' (28.1) = - 18704518.563 + 840 {(28.1)}^{3}$

Langkah 8.2.1.3

Naikkan $28.1$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (28.1) = - 18704518.563 + 840 \cdot 22188.041$

Langkah 8.2.1.4

Kalikan $840$ dengan $22188.041$ .

$f'' (28.1) = - 18704518.563 + 18637954.44$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $- 18704518.563$ dan $18637954.44$ .

$f'' (28.1) = - 66564.123$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 66564.123$ .

$- 66564.123$

Langkah 8.3

Pada $28.1$ , turunan kedua adalah $- 66564.123$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(28, \infty)$

Menurun pada $(28, \infty)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 9

Titik belok adalah sebuah titik pada kurva di mana kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik-titik belok dalam kasus ini adalah $(0, 19), (28, 240943995)$ .

$(0, 19), (28, 240943995)$

Langkah 10