Kalkulus Contoh

$y = x - \sin (x)$

Langkah 1

Tulis $y = x - \sin (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = x - \sin (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Langkah 2.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 2.1.2.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f' (x) = 1 - \cos (x)$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Langkah 2.2.1.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 2.2.2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Langkah 2.2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Langkah 2.2.2.4

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$0 + \sin (x)$

Langkah 2.2.3

Tambahkan $0$ dan $\sin (x)$ .

$f'' (x) = \sin (x)$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\sin (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$\sin (x) = 0$

Langkah 3.2

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (0)$

Langkah 3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.4

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - 0$

Langkah 3.5

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = π$

Langkah 3.6

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.6.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 3.6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 3.6.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 3.7

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.8

Gabungkan jawabannya.

$x = π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi dalam $f (x) = x - \sin (x)$ adalah $(,)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(,)$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty,)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 0.1) = \sin (- 0.1)$

Langkah 6.2

Jawaban akhirnya adalah $\sin (- 0.1)$ .

$\sin (- 0.1)$

Langkah 6.3

Pada $- 0.1$ , turunan kedua adalah $- 0.09983341$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty,)$

Menurun pada $(- \infty,)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.1) = \sin (0.1)$

Langkah 7.2

Jawaban akhirnya adalah $\sin (0.1)$ .

$\sin (0.1)$

Langkah 7.3

Pada $0.1$ , turunan keduanya adalah $0.09983341$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(, \infty)$ .

Meningkat pada $(, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(,)$ .

$(,)$

Langkah 9