Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{x - 1}$

Langkah 1

Mempertimbangkan definisi batas turunannya.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Langkah 2

Tentukan komponen dari definisinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi fungsi pada $x = x + h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $x + h$ pada pernyataan tersebut.

$f (x + h) = \frac{1}{(x + h) - 1}$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h - 1}$

Langkah 2.1.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{x + h - 1}$ .

$\frac{1}{x + h - 1}$

Langkah 2.2

Tentukan komponen dari definisinya.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h - 1}$

$f (x) = \frac{1}{x - 1}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h - 1}$

$f (x) = \frac{1}{x - 1}$

Langkah 3

Masukkan komponen.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h - 1} - (\frac{1}{x - 1})}{h}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Untuk menuliskan $\frac{1}{x + h - 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1}}{h}$

Langkah 4.1.2

Untuk menuliskan $- \frac{1}{x - 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Langkah 4.1.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(x + h - 1) (x - 1)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Kalikan $\frac{1}{x + h - 1}$ dengan $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Langkah 4.1.3.2

Kalikan $\frac{1}{x - 1}$ dengan $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{x + h - 1}{(x - 1) (x + h - 1)}}{h}$

Langkah 4.1.3.3

Susun kembali faktor-faktor dari $(x - 1) (x + h - 1)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Langkah 4.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - 1 - (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5

Tulis kembali $\frac{x - 1 - (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - 1 - x - h + 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - 1 - x - h + 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.3

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 - 1 - h + 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.4

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 1 - h + 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.5

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h + 0}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.6

Tambahkan $- h$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Langkah 4.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Langkah 4.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Langkah 4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)}$ ke dalam pembilangnya.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Langkah 4.3.2

Faktorkan $h$ dari $- h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Langkah 4.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Langkah 4.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Langkah 4.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Langkah 5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Langkah 5.2

Pindahkan suku $\frac{1}{x - 1}$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$- \frac{1}{x - 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h - 1}$

Langkah 5.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h - 1}$

Langkah 5.4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h - 1}$

Langkah 5.5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 1}$

Langkah 5.6

Evaluasi limit dari $x$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 1}$

Langkah 5.7

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 1}$

Langkah 6

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x + 0 - 1 \cdot 1}$

Langkah 7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x + 0 - 1}$

Langkah 7.1.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Langkah 7.2

Kalikan $- \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{x - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $\frac{1}{x - 1}$ dengan $\frac{1}{x - 1}$ .

$- \frac{1}{(x - 1) (x - 1)}$

Langkah 7.2.2

Naikkan $x - 1$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{1} (x - 1)}$

Langkah 7.2.3

Naikkan $x - 1$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1}}$

Langkah 7.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{1 + 1}}$

Langkah 7.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 8