Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{2} 8 x e^{x^{2}} d x$

Langkah 1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$8 \int_{0}^{2} x e^{x^{2}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Langkah 2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Langkah 2.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Langkah 2.3.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{2^{2}}$

Langkah 2.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{upper} = e^{4}$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{4}$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$8 \int_{1}^{e^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 3

Terapkan aturan konstanta.

$8 (\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{4}})$

Langkah 4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $u_{2}$ .

$8 (\frac{u_{2}}{2}]_{1}^{e^{4}})$

Langkah 4.2

Evaluasi $\frac{u_{2}}{2}$ pada $e^{4}$ dan pada $1$ .

$8 (\frac{e^{4}}{2} - \frac{1}{2})$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan sifat distributif.

$8 \frac{e^{4}}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Langkah 5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$2 (4) \frac{e^{4}}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Langkah 5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot 4 \frac{e^{4}}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Langkah 5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 e^{4} + 8 (- \frac{1}{2})$

Langkah 5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$4 e^{4} + 8 (\frac{- 1}{2})$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$4 e^{4} + 2 (4) \frac{- 1}{2}$

Langkah 5.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$4 e^{4} + 2 \cdot 4 \frac{- 1}{2}$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$4 e^{4} + 4 \cdot - 1$

Langkah 5.4

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$4 e^{4} - 4$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$4 e^{4} - 4$

Bentuk Desimal:

$214.39260013 \dots$

Langkah 7