Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\sqrt{π}} x \sin (x^{2}) d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x^{2}$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Langkah 1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x^{2}$ .

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

Langkah 1.5

Tulis kembali ${\sqrt{π}}^{2}$ sebagai $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{π}$ sebagai $π^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Langkah 1.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Langkah 1.5.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Langkah 1.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Langkah 1.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = π^{1}$

Langkah 1.5.5

Sederhanakan.

$u_{upper} = π$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Gabungkan $\sin (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Langkah 4

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{π}$

Langkah 5

Evaluasi $- \cos (u)$ pada $π$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \cos (0))$

Langkah 6

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + 1)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$\frac{1}{2} (- - \cos (0) + 1)$

Langkah 7.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{1}{2} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Langkah 7.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} (- - 1 + 1)$

Langkah 7.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} (1 + 1)$

Langkah 7.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Langkah 7.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Langkah 7.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1$