Kalkulus Contoh

$\int \arctan (2 x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \arctan (2 x)$ dan $d v = 1$ .

$\arctan (2 x) x - \int x \frac{2}{4 x^{2} + 1} d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{2}{4 x^{2} + 1}$ .

$\arctan (2 x) x - \int \frac{x \cdot 2}{4 x^{2} + 1} d x$

Langkah 2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\arctan (2 x) x - \int \frac{2 x}{4 x^{2} + 1} d x$

Langkah 3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\arctan (2 x) x - (2 \int \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x)$

Langkah 4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\arctan (2 x) x - 2 \int \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x$

Langkah 5

Biarkan $u = 4 x^{2} + 1$ . Kemudian $d u = 8 x d x$ sehingga $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 4 x^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Langkah 5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{2} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 5.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 5.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 5.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 5.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$8 x + 0$

Langkah 5.1.4.2

Tambahkan $8 x$ dan $0$ .

$8 x$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\arctan (2 x) x - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{8}$ .

$\arctan (2 x) x - 2 \int \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Langkah 6.2

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $u$ .

$\arctan (2 x) x - 2 \int \frac{1}{8 u} d u$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{8}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{8}$ keluar dari integral.

$\arctan (2 x) x - 2 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{8}$ dan $- 2$ .

$\arctan (2 x) x + \frac{- 2}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 8.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\arctan (2 x) x + \frac{2 (- 1)}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$\arctan (2 x) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 8.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\arctan (2 x) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 8.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\arctan (2 x) x + \frac{- 1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 8.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\arctan (2 x) x - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 9

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\arctan (2 x) x - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

Langkah 10

Sederhanakan.

$\arctan (2 x) x - \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

Langkah 11

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 x^{2} + 1$ .

$\arctan (2 x) x - \frac{1}{4} \ln (| 4 x^{2} + 1 |) + C$